Физика в примерах и задачах

Графики зависимости скорости и координаты y от времени показаны на рис. 12.3. Могло бы показаться на первый взгляд, что период колебаний вдвое меньше указанного на этих графиках. Период действительно был бы вдвое меньше, если бы речь шла о подскакивающем шарике. Но для обруча это не так, ибо период колебания здесь определяется временем полного цикла изменения угла , который состоит из отклонений обруча как в одну сторону, так и в другую. Это особенно отчётливо видно из графика зависимости угла отклонения от времени, который показан на том же рис. 12.3.

График зависимости (t) состоит из половинок эллипсов, в чем можно убедиться, подставив во вторую из формул (6) координату y, выраженную через угол с помощью соотношения (2):

^2(t)

=

-

gt^2

R

.

(7)

Эту формулу можно переписать в виде

^2

^2

+

t^2

R^2/g

=

1.

(8)

В ней легко узнать уравнение эллипса на плоскости t, . Полуоси этого эллипса равны R/g и . Как видно из графика зависимости (t), полуось R/g равна четверти периода колебаний обруча T/4. Такое же значение для T/4 можно, разумеется, получить и из уравнения (6).

Таким образом, период колебаний обруча

T

=

4

R/g

.

Подчеркнём, что даже малые колебания такой системы не являются гармоническими и их период зависит от амплитуды .

13. Волны во вращающемся кольце.

Кольцевой резиновый жгут раскручен вокруг оси, перпендикулярной плоскости кольца (рис. 13.1). Линейная скорость элементов жгута равна v. С какой скоростью будут распространяться по такому кольцу поперечные волны малой амплитуды?

Рис. 13.1. Резиновое кольцо вращается вокруг вертикальной оси

Упругая поперечная волна в гибком резиновом жгуте может распространяться только в случае, если этот жгут натянут. Предварительное натяжение необходимо потому, что ненатянутый жгут, в отличие от твёрдого тела, обладает упругостью только по отношению к деформации растяжения, но не сжатия. В рассматриваемом примере сила натяжения кольцевого жгута обусловлена его вращением. Найдём эту силу натяжения.

Рис. 13.2. К вычислению силы натяжения вращающегося резинового жгута

Выделим мысленно на вращающемся жгуте элемент l, характеризуемый малым углом (рис. 13.2). Силы F и F, действующие на выделенный элемент со стороны соседних участков, направлены по касательной к окружности. Модуль этих сил F - это и есть интересующая нас сила натяжения жгута. Равнодействующая сил F и F сообщает выделенному элементу жгута центростремительное ускорение v/R. Масса выделенного элемента равна Sl=SR где - плотность резины, S - площадь поперечного сечения жгута. Поэтому на основании второго закона Ньютона имеем

F

=

SRv^2

R

(1)

откуда

F

=

Sv^2

.

(2)

Рис. 13.3. В некоторый момент времени горб, бегущий по жгуту, будет пеподвижен во вспомогательной системе отсчёта K

Предположим теперь, что по этому кольцу распространяется упругая волна, в которой смещение элементов жгута происходит в направлении, перпендикулярном равновесной плоскости жгута. Пусть эта волна распространяется, например, в ту же сторону, в какую вращается кольцо. Для того чтобы найти скорость распространения этой волны в жгуте u, поступим следующим образом. Перейдём в новую систему отсчёта K, в которой в некоторый момент времени окажется неподвижным определённый выделенный горб волны (рис. 13.3). Ясно, что эта система отсчёта движется равномерно со скоростью u+v в направлении касательной к окружности, образуемой вращающимся жгутом. Выделенный горб будет в этой системе отсчёта неподвижен в тот момент, когда его скорость окажется параллельной скорости введённой системы отсчёта. В этот момент горб будет выглядеть застывшим, а вещество жгута будет скользить вдоль застывшего горба со скоростью u налево (рис. 13.4). Поскольку новая система отсчёта является инерциальной, в ней также справедлив второй закон Ньютона. Применим его к движению элемента жгута, проходящего через вершину горба. Этот элемент движется со скоростью u по дуге окружности некоторого радиуса r, которая лежит в вертикальной плоскости и показана штриховой линией на рис. 13.4. Проекция уравнения второго закона Ньютона на вертикальное направление при движении по этой окружности записывается в виде

F

=

Sru^2

r

(3)

Рис. 13.4. В этой системе отсчёта вещество жгута бежит через вершину застывшего горба со скоростью u

Отсюда для квадрата скорости распространения поперечной волны по жгуту имеем

u^2

=

F

S

.

(4)

Ясно, что такое же выражение для скорости волны будет справедливо и в случае прямолинейного жгута, натяжение которого создаётся внешними силами.

Подставляя в формулу (4) выражение для силы натяжения F через скорость вращающегося жгута v из (2), находим, что u=v. Другими словами, скорость поперечных волн относительно жгута, сила натяжения которого обусловливается его вращением, совпадает с линейной скоростью вращения жгута. Поэтому волны, которые бегут в ту же сторону, куда вращается жгут, движутся относительно неподвижного наблюдателя со скоростью 2v, а волны, бегущие навстречу вращению жгута, кажутся такому наблюдателю неподвижными.