Физика в примерах и задачах

В случае длина воображаемого маятника Ll (рис. 9.2). Рассуждая аналогично предыдущему случаю, легко прийти к выводу, что движение нижнего конца маятника l (точка A на рис. 9.2) происходит в противофазе с движением точки подвеса B. Амплитуда вынужденных колебаний легко определяется из геометрических соображений.

Приведём окончательный результат: вынужденные колебания маятника описываются уравнением

X(t)

=

X

sin(t+)

,

где

=

0

при

,

-

при

,

X

=

x^2

^2-^2

при

,

x^2

^2-^2

при

.

Рис. 9.3. Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе тем меньше, чем больше затухание

На рис. 9.3 приведена зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты движения точки подвеса. Кривая 1 соответствует идеализированному случаю, когда затухание отсутствует. При -> эта кривая показывает стремление амплитуды вынужденных колебаний к бесконечности в условиях резонанса. Если бы затухание учитывалось, то вместо кривой 1 получилась бы кривая 2. При этом максимум амплитуды вынужденных колебаний оказывается конечным и приходится на частоту, несколько меньшую частоты свободных колебаний. Сдвиг частоты тем больше, чем больше затухание. С ростом затухания уменьшается амплитуда вынужденных колебаний. При -> амплитуда колебаний стремится к нулю даже тогда, когда нет затухания. При =0, что соответствует статическому смещению точки подвеса на расстояние x, нижний конец маятника смещается из прежнего положения на такую же величину x.

10. Успокоение колебаний.

Рис. 10.1. Подставка с электродвигателем подвешена на нитях

Электродвигатель установлен на подставке, которая подвешена на нерастяжимых нитях длины l (рис. 10.1). Ротор его вращается с частотой . Центр масс ротора двигателя не находится на его оси, поэтому подставка раскачивается в горизонтальном направлении. Для устранения этих нежелательных колебаний подставки можно поступить следующим образом. Подвесим рядом с подставкой груз массы m и соединим его с подставкой упругой пружиной (рис. 10.2). Тогда при определённой жёсткости пружины k подставка с двигателем будет неподвижна, а груз будет совершать колебания. Почему так происходит и какой должна быть жёсткость пружины k?

Рис. 10.2. Успокоение колебаний мотора с несбалансированным ротором с помощью комбинированного маятника

Допустим, что нам удалось подобрать такую пружину: подставка с двигателем остаётся неподвижной, несмотря на то что ротор двигателя вращается. Попробуем выяснить, при каких условиях это возможно. Подставка неподвижна, значит, все действующие на неё силы уравновешены, Какие же силы действуют на подставку?

При вращении ротора его центр масс, не лежащий на оси, движется по окружности. Это значит, что действующая на ротор сила в каждый момент времени направлена к центру окружности, т.е. представляет собой постоянный по модулю вектор, вращающийся с частотой . Эта сила F согласно второму закону Ньютона равна произведению массы ротора M на центростремительное ускорение ^2r:

F

=

M^2r

,

(1)

где r - расстояние от оси до центра масс ротора. Вертикальная проекция действующей на ротор силы изменяется со временем по гармоническому закону:

F(t)

=

F

sin t

.

(2)

Благодаря этой силе периодически с частотой изменяется сила натяжения нитей, на которых подвешена подставка. Если амплитуда этой силы F не превосходит действующей на двигатель с подставкой силы тяжести Mg, то нити всё время остаются натянутыми. Таким образом, подставка не совершает перемещений по вертикали, если, как видно из формулы (1), выполнено условие

^2

M

M

=

g

r

.

(3)

Выясним теперь, при каком условии подставка с двигателем не будет совершать и горизонтальных перемещений. Горизонтальная проекция действующей на ротор силы также изменяется по гармоническому закону:

F(t)

=

F

cos t

.

(4)

Согласно третьему закону Ньютона равная по модулю и противоположная по направлению сила действует со стороны ротора на статор двигателя и подставку. Именно благодаря этой синусоидальной силе подставка и совершала бы горизонтальные колебания в отсутствие груза m. с пружиной. Очевидно, что если в каждый момент времени действующая на подставку со стороны деформированной пружины сила будет уравновешивать силу, действующую со стороны ротора, то подставка с двигателем будет неподвижна.

Таким образом, действующая на подставку со стороны пружины сила должна быть равна силе F, выражаемой формулой (4), т.е. должна синусоидально зависеть от времени с той же самой частотой . Так как упругая сила пружины пропорциональна её деформации, т.е. смещению груза m из положения равновесия (рис. 10.2), то движение груза m должно представлять собой гармоническое колебание с той же частотой . Поскольку подставка с двигателем при этом неподвижна, то ясно, что частота должна быть частотой собственных колебаний комбинированного маятника с пружиной. Такой маятник был рассмотрен в задаче 3 этого раздела. Так как теперь к грузу m прикреплена одна пружина, а не две, то выражение для частоты собственных колебаний имеет вид

^2

=

g

l

+

k

m

.

(5)