Физика в примерах и задачах

Заметим, что точно такие же колебания шаров можно получить, если верхний шар не подвешивать на нити, а насадить на гладкий горизонтальный стержень, по которому он может скользить без трения. Сила реакции такого стержня направлена всё время вертикально вверх и выполняет ту же роль, что и сила натяжения верхней вертикальной нити, - поддерживает верхний шар на одном и том же уровне, не сообщая ему никакого горизонтального ускорения. Отсюда ясно, что ответ не зависит от длины верхней нити.

Интересно отметить, что рассматриваемые нами колебания этой системы шаров не являются вынужденными: при отсутствии трения это есть свободные незатухающие колебания. Силу натяжения верхней нити нельзя рассматривать как «вынуждающую», так как, будучи перпендикулярной перемещению, эта сила работы не совершает, т.е. энергия к системе не подводится.

7. Часы на длинных шнурах.

Часы массой M имеют маятник в виде невесомого стержня длиной l с точечной массой m на конце. Как изменится ход этих часов, если их подвесить на длинных параллельных шнурах (рис. 7.1)?

Рис. 7.1. Часы на длинных шнурах

Подвешенные на шнурах часы, в отличие от часов, закреплённых на стене, получают возможность раскачиваться. Если шнуры параллельны, движение корпуса часов будет при таких раскачиваниях поступательным. Это означает, что все точки корпуса часов, в том числе и центр масс корпуса, и точка подвеса маятника, движутся одинаково.

Предположим, что амплитуда раскачивания часов достаточно мала, так чтобы можно было считать шнуры всё время вертикальными. Тогда, как и в предыдущей задаче, все действующие на рассматриваемую систему - часы с маятником - внешние силы направлены по вертикали, ибо, кроме сил натяжения шнуров, действуют только силы тяжести корпуса часов и маятника. Значит, центр масс всей системы по горизонтали перемещаться не будет.

Рис. 7.2. Смещение груза маятника и корпуса часов при колебаниях

Теперь ясно, что колебания маятника и корпуса часов будут происходить с одинаковой частотой и в противофазе, так, чтобы центр масс всё время оставался на одной вертикали. При этом смещение s (рис. 7.2) груза маятника и смещение s корпуса часов (в том числе и точки подвеса маятника) будут обратно пропорциональны их массам:

s

s

=

M-m

m

.

(1)

Из формулы (1) видно, что при ms, т.е. амплитуда раскачиваний корпуса много меньше амплитуды колебаний маятника. Поэтому при mбудут оставаться практически вертикальными уже тогда, когда их длина порядка длины маятника.

Приведённые рассуждения показывают, что для нахождения периода колебаний рассматриваемой системы можно непосредственно воспользоваться результатом решения задачи 6, заменив там, конечно, массу верхнего груза M на массу корпуса M-m:

T

=

2

l

g[1+m/(M-m)]

1/2

=

2

l

g

1

-

m

M

1/2

.

(2)

Обозначая через T период колебаний маятника длиной l в неподвижных часах (T=2l/g) и учитывая условие m/M1, формуле (2) можно придать вид

T

=

T

1

-

m

2M

.

(3)

Подвешенные на шнурах часы будут спешить. Интересно отметить, что относительное изменение периода

|T|

T

=

T-T

T

=

m

2M

не зависит от длины маятника. Если, например, M=5 кг, m=200 г, то уменьшение периода составляет 2% и за сутки подвешенные на шнурах часы уйдут вперёд почти на полчаса.

8. Собственные колебания двойного маятника.

У двойного маятника точка подвеса неподвижна. Маятник выведен из равновесия таким образом, что при его дальнейшем свободном движении каждый из шариков совершает гармоническое колебание. Какова частота таких колебаний и каким образом их можно возбудить?

Если двойной маятник вывести из равновесия произвольным образом и предоставить самому себе, то каждый из шариков будет, вообще говоря, совершать довольно сложное движение, в котором трудно уловить какую-либо закономерность. Однако при некоторых начальных условиях движение маятника оказывается очень простым: оба шарика совершают чисто гармоническое колебание с одной и той же частотой, причём амплитуды и фазы этих колебаний находятся во вполне определённом соотношении друг с другом. Такие типы движения называются нормальными колебаниями системы или её модами.

Существуют определённые методы нахождения нормальных колебаний. Но во многих случаях их можно просто угадать, основываясь на симметрии рассматриваемой системы. Если считать, что колебания двойного маятника могут происходить не только в плоскости чертежа на рис. 6.1, но и в перпендикулярной плоскости, то можно сразу сообразить, что рассматриваемая система обладает осевой симметрией, причём осью симметрии является вертикаль, проходящая через точку подвеса.