Физика в примерах и задачах

Графики зависимости заряда конденсатора и тока от времени показаны на рис. 5.2. Из этого графика видно, что заряд конденсатора совершает гармоническое колебание около значения q=CE, соответствующего заряду, который имел бы конденсатор в рассматриваемой цепи (рис. 5.1) в состоянии равновесия. Колебания заряда происходят между значениями q=0 и q=2CE, так что знак заряда каждой пластины не меняется. Колебания тока, в отличие от колебаний заряда, происходят около значения I=0. Максимальное напряжение на конденсаторе равно удвоенной ЭДС источника: U_Cmax=2E.

Может возникнуть вопрос, как это вообще источник с ЭДС E может зарядить конденсатор до напряжения, равного 2E. Это объясняется наличием катушки индуктивности в цепи зарядки: действие ЭДС самоиндукции приводит к тому, что ток в цепи не может обратиться в нуль в тот момент, когда напряжение на конденсаторе достигает значения, равного ЭДС источника, и конденсатор продолжает заряжаться.

Переходя к обсуждению механической системы, аналогичной рассмотренной электрической цепи, напомним, что колебательному контуру, содержащему индуктивность и ёмкость, можно поставить в соответствие пружинный маятник. При этом заряд конденсатора аналогичен смещению груза, а ток в контуре - скорости движения груза. Упругая пружина является аналогом конденсатора, а движущаяся масса - аналогом катушки индуктивности.

Но в рассмотренной цепи кроме конденсатора и катушки индуктивности есть ещё один элемент - источник питания. Благодаря источнику в такой цепи становится возможным возникновение колебаний даже в том случае, когда в начальный момент и заряд конденсатора, и ток в цепи равны нулю.

Поскольку в электрической цепи в начальный момент времени заряд конденсатора и ток равны нулю, то в механическом аналоге этой схемы в начальный момент пружина должна быть недеформирована, а груз должен покоиться. Остаётся только придумать, что может выполнить роль источника тока в механической системе: механический аналог источника должен привести систему в движение без начального толчка и должен продолжать действовать и дальше в процессе колебаний.

Рис. 5.3. В начальный момент пружина не деформирована и груз неподвижен. Затем подставку выдёргивают.

Нетрудно сообразить, что эту роль в механической системе может сыграть поле тяжести, если пружинный маятник расположить вертикально, подпереть груз подставкой так, чтобы пружина была недеформирована (рис. 5.3), а затем резко выдернуть подставку. Составим уравнение движения для такого маятника. Направим ось x вертикально вниз и будем отсчитывать смещение груза x от начального положения, в котором пружина недеформирована. Тогда проекция силы, действующей на груз со стороны пружины, равна -kx. Так как на груз действует ещё и сила тяжести, то уравнение второго закона Ньютона имеет вид

ma

=

mg

-

kx

.

(12)

Обозначая ускорение пружины, т.е. вторую производную смещения по времени, через x и вводя обозначение ^2=k/m перепишем уравнение (12):

x

+

^2x

=

g

.

(13)

Мы видим, что процессы в механической системе и в рассмотренной выше электрической цепи описываются одинаковыми уравнениями (13) и (3). Одинаковыми будут и начальные условия: отсутствию заряда конденсатора и тока в начальный момент времени в электрической цепи (соотношения (8)) соответствуют равные нулю смещение груза и его скорость в момент выдёргивания подставки:

x(0)

=

0

,

v(0)

=

0

.

(14)

Таким образом, рассматриваемая механическая система действительно представляет собой аналог электрической цепи, и все сопоставляемые в них друг другу величины изменяются со временем по одинаковому закону. Поэтому смещение груза x(t) даётся формулой (11), в которую только вместо величины CE нужно подставить её аналог в механической системе. Из сопоставления уравнений (3) и (13) ясно, что величину E/L следует заменить на g, а величину EC=E/L^2 - на g/^2=mg/k:

x(t)

=

mg

k

(1-cos t)

.

(15)

График зависимости x(t) изображается тем же рис. 5.2. Видно, что колебания груза происходят около значения x=mg/k, соответствующего статической деформации пружины под тяжестью груза, т.е. около положения равновесия системы в поле тяжести.