Физика в примерах и задачах

Теперь рассмотрим случай, когда скорости монеты и подставки сравниваются за пределами следующего интервала «захвата» (рис. 2.2). График скорости монеты теперь будет состоять из прямолинейных отрезков, наклон которых, равный ускорению монеты ±g, определяется силой трения скольжения. Изломы на этом графике соответствуют моментам изменения направления силы трения. Это происходит при изменениях направления относительной скорости, т.е. при пересечении прямых с синусоидой графика скорости подставки. Высота зубцов такой «пилы», т.е. максимальное значение скорости монеты v_max, равно произведению наклона g на четверть периода колебаний подставки:

v

_max

=

gT

4

=

g

2

.

Итак, возможны три режима движения монеты на вибрирующей подставке в зависимости от значения безразмерного параметра ^2A/g Как мы видели, при ^2A/g1 монета будет двигаться вместе с подставкой. При значениях этого параметра, превосходящих единицу, только часть периода монета будет двигаться вместе с подставкой. Такой режим движения осуществляется, пока параметр ^2A/g не достигнет значения 1+^2/4. Чтобы убедиться в этом, достаточно сообразить, что переход к третьему режиму, при котором монета всё время проскальзывает относительно подставки, происходит тогда, когда произведение наклона прямой g на половину периода T/2 равно удвоенному значению скорости подставки в момент срыва:

g

=

2A

cos t

.

Подставляя сюда

cos t

=

1-sin^2t

=

1-(g/^2A)^2

находим предельное значение интересующего нас параметра:

^2A

g

=

1+^2/4

.

Видно, что переход от одного режима движения к другому возможен при увеличении либо частоты, либо амплитуды колебаний A, либо при уменьшении коэффициента трения .

3. Комбинированный маятник.

Рис. 3.1. Колебания такого маятника обусловлены как силой тяжести, так и силами упругости

Рассмотрим маятник, изображённый на рис. 3.1. Лёгкий стержень длины l подвешен на оси в точке A таким образом, что он может двигаться в плоскости чертежа. К грузу массы m на конце стержня прикреплены одинаковые пружины жёсткости k, расположенные горизонтально в этой же плоскости. Другие концы пружин закреплены неподвижно. Найти частоту малых собственных колебаний такого маятника в отсутствие трения. Массами стержня и пружин пренебречь.

Если бы пружины отсутствовали, то рассматриваемая система представляла бы собой обычный математический маятник, совершающий колебания в поле тяжести. Частота собственных колебаний такого маятника зависит от ускорения свободного падения g и от длины стержня l:

^2

=

g

l

.

(1)

Наоборот, в отсутствие силы тяжести данная система превращается в обычный пружинный маятник, у которого масса m колеблется горизонтально около своего положения равновесия под действием упругих сил. Так как на тело действуют две пружины, то выражение для частоты собственных колебаний такого пружинного маятника имеет вид

^2

=

2k

m

.

(2)

Нетрудно получить выражение для частоты собственных колебаний рассматриваемого комбинированного маятника, когда на его движение влияют и сила тяжести, и упругие силы деформированных пружин. Для этого, как обычно, нужно рассмотреть силы, действующие на выведенный из равновесного положения маятник, и написать уравнение второго закона Ньютона.

Рис. 3.2. К вычислению сил, действующих на смещённый из положения равновесия груз

Пусть груз смещён из положения равновесия вправо на расстояние x (рис. 3.2). В этом положении на груз в горизонтальном направлении действуют две силы F и F, направленные к положению равновесия. Сила F обусловлена действием поля тяжести. Если отклонение x мало по сравнению с длиной маятника l (|x|) то для проекции этой силы на ось x справедливо приближённое выражение

F

=-

mgx

l

(3)

Сила F представляет собой равнодействующую сил, действующих на груз со стороны пружин. При указанном на рис. 3.2 выборе направления оси x проекция силы, действующей на груз в положении равновесия со стороны правой пружины, равна k(s-s), где s - длина недеформированной пружины, а s - расстояние между концами пружины при равновесном положении груза. Если ss т.е. пружина растянута, то эта сила направлена вправо, если пружина сжата (ss) - то влево. Проекция силы, действующей на груз в положении равновесия со стороны левой пружины, равна -k(s-s). Когда груз смещён из равновесия на x (рис. 3.2), то со стороны правой пружины действует сила, проекция которой равна k(s-x-s), а со стороны левой -k(s+x-s). Поэтому проекция равнодействующей силы F равна их сумме

F

=

k(s-x-s)

-

k(s+x-s)

=-

2kx

.

(4)

Отметим, что сила F направлена всегда к положению равновесия и не зависит от того, растянуты или сжаты пружины при равновесном положении груза.

С учётом выражений (3) и (4) уравнение второго закона Ньютона записывается в виде

ma

=-

mgx

l

-

2kx

.

(5)

Обозначим, как это обычно принято, ускорение a, равное второй производной смещения x по времени, через x. Тогда уравнение (5) можно переписать следующим образом:

x

+

(g/l+2k/m)

x

=

0.

(6)