Физика в примерах и задачах

Итак, второй закон Ньютона для рассматриваемой системы приводит к дифференциальному уравнению гармонических колебаний, квадрат частоты которых ^2 равен коэффициенту при x:

^2

=

g/l

+

2k/m

.

(7)

Сравнивая эту формулу с выражениями (1) и (2), убеждаемся, что квадрат частоты собственных колебаний комбинированного маятника равен сумме квадратов частот и , которые являются частотами собственных колебаний маятника при действии каждой из причин, вызывающих колебания, в отдельности:

^2

=

^2

+

^2

.

(8)

Подмеченное свойство является довольно общим для колебательных процессов разной природы: если какая-либо физическая величина может совершать собственные колебания под действием нескольких причин, то при одновременном действии этих причин частота колебаний удовлетворяет правилу (8).

Полученный результат (7) или (8), разумеется, удовлетворяет предельным случаям, когда или жёсткость пружин, или сила тяжести стремятся к нулю. Интересен предельный случай, когда неограниченно возрастает длина стержня l. При l-> мы приходим к такому же результату, как и при g->0. Роль стержня в этом случае сводится лишь к тому, чтобы поддерживать груз, совершающий колебания под действием пружин.

4. Несимметричный маятник.

Рис. 4.1. При вертикальном положении маятника резинка не растянута

У такого же, как и в предыдущей задаче, маятника вместо пружин с одной стороны к грузу прикреплена гибкая резинка, проявляющая упругие свойства только при растяжении (рис. 4.1). Когда маятник расположен вертикально, резинка не натянута. Смещение груза вправо приводит к растяжению резинки, которое удовлетворяет закону Гука: F=-gx. При смещении груза влево резинка просто провисает. Найти период собственных колебаний такого несимметричного маятника.

При отклонении маятника вправо резинка растягивается и движение груза происходит по такому же закону, как и движение комбинированного маятника в задаче 1. Единственное отличие состоит в том, что вместо двух пружин теперь имеется только одна. Поэтому при x0

ma

=-

mgx

l

-

2kx

 (x0)

.

(1)

Вводя для ускорения a обозначение x, перепишем это уравнение в виде

x

+

^2x

=

0

 (x0)

,

(2)

где частота собственных колебаний определяется соотношением

^2

=

g

l

+

k

m

(3)

Рис. 4.2. При отклонении маятника влево резинка не влияет на его движение

Из уравнения (2) следует, что движение груза происходит по такому же закону, как и при гармоническом колебании с частотой , пока x0, поскольку сила упругости -kx действует на груз только до тех пор, пока маятник отклонён вправо. Как только маятник пройдёт через положение равновесия и начнёт отклоняться влево, действие резинки прекращается и маятник движется так же, как и при свободном колебании в поле тяжести (рис. 4.2). Дифференциальное уравнение такого движения имеет вид

x

+

^2x

=

0

(x0),

где

^2

=

g

l

.

(4)

Таким образом, полная картина движения маятника с резинкой не описывается одним дифференциальным уравнением. Каждый раз в момент прохождения маятником положения равновесия для описания последующего движения нужно переходить от одного уравнения к другому - от уравнения (2) к уравнению (4), если груз проходит через положение равновесия справа налево, и от уравнения (4) к уравнению (2) - если слева направо.

Период T, в течение которого осуществляется полный цикл движения рассматриваемого несимметричного маятника, складывается из двух полупериодов, соответствующих гармоническим колебаниям с частотами , и :

T

=

1

+

1

.

(5)

Рис. 4.3. Заштрихованные фигуры, ограниченные графиком зависимости x(t), геометрически подобны

Интересно сравнить между собой максимальные отклонения маятника при его смещениях вправо и влево от положения равновесия. Это можно сделать, например, построив график зависимости смещения груза от времени. Пусть в начальный момент времени t=0 груз смещён вправо от положения равновесия на расстояние A и отпущен без начальной скорости. Пока груз не достигнет положения равновесия, график его движения будет представлять собой часть косинусоиды, соответствующей решению уравнения (2) (рис. 4.3):

x(t)

=

A

cos t

(0t/2)

.

(6)

После прохождения положения равновесия, т.е. при x0, график движения будет представлять собой часть другой косинусоиды, соответствующей решению уравнения (4). Эта косинусоида имеет, как мы выяснили, другой период и, разумеется, другую амплитуду A. Однако в точках, где эти косинусоиды сменяют друг друга, они имеют общую касательную (рис. 4.3). В самом деле, наклон касательной на графике зависимости x(t) определяет скорость тела, которая в момент прохождения положения равновесия не меняется. Такие косинусоиды геометрически подобны (см. заштрихованные участки на рис. 4.3), поэтому отношение их амплитуд равно отношению соответствующих полупериодов:

A

A

=

.

(7)

Отсюда после подстановки значений частот и получаем

A

=

A

1+kl/mg

.

(8)