Физика в примерах и задачах

Интересно рассмотреть энергетические превращения, происходящие при колебаниях в данной электрической цепи и в поставленной ей в соответствие механической системе. До замыкания ключа, пока заряд конденсатора и ток в катушке индуктивности равны нулю, электрическое поле в конденсаторе и магнитное поле в катушке отсутствуют, т.е. равны нулю соответствующие им энергии. Точно так же до выдёргивания подставки в механической системе упругая потенциальная энергия пружины и кинетическая энергия груза равны нулю. После выдёргивания подставки груз под действием силы тяжести устремляется вниз, приобретая скорость и кинетическую энергию. Одновременно растёт деформация пружины и связанная с ней упругая потенциальная энергия. После прохождения положения равновесия x=mg/k скорость и кинетическая энергия груза начинают убывать, и в крайней нижней точке x=2mg/k кинетическая энергия обращается в нуль. Упругая потенциальная энергия пружины E_п=kx^2/2 достигает в этот момент наибольшего значения E_п=2m^2g^2/k Весь этот запас упругой энергии пружина приобрела за счёт работы силы тяжести. В самом деле, при опускании груза его потенциальная энергия в поле тяжести уменьшилась как раз на такую же величину mg·2mg/k В течение следующей половины периода происходит обратное превращение потенциальной энергии упругой деформации пружины в потенциальную энергию груза в поле тяжести.

Совершенно аналогичные превращения энергии происходят и в электрической цепи. В течение первой половины периода за счёт работы, совершаемой источником тока, появляется энергия магнитного поля катушки и электрического поля конденсатора, причём к концу этого промежутка времени вся эта энергия оказывается сосредоточенной в конденсаторе. В течение второй половины периода происходят обратные превращения энергии, и вся энергия возвращается в источник тока. Очевидно, что это возможно только потому, что внутреннее сопротивление источника равно нулю. Другими словами, все процессы в источнике обратимы и прохождение заряда через него не связано с выделением тепла.

Рис. 5.4. В цепи с сопротивлением колебания заряда конденсатора затухают

Однако любой реальный источник тока (как, впрочем, и катушка индуктивности с соединительными проводами) обладает сопротивлением. Поэтому при происходящих процессах неизбежно выделяется теплота и энергетические превращения необратимы. Колебания в действительности будут затухающими (рис. 5.4), так что в конце концов напряжение на конденсаторе станет равным ЭДС источника,

В реальной механической системе всегда присутствует трение. Поэтому и здесь неизбежно выделение теплоты, т.е. превращения механической энергии также необратимы. Колебания будут затухающими, и груз в конце концов установится в положении равновесия x=mg/k.

6. Двойной маятник.

Точка подвеса A двойного маятника совершает гармонические колебания с малой амплитудой в горизонтальном направлении (рис. 6.1). Длина нижней нити равна l, масса нижнего шарика равна m, верхнего - M. Каким должен быть период колебаний точки подвеса A, чтобы верхняя нить всё время оставалась вертикальной?

Рис. 6.1. Точка подвеса A совершает гармонические колебания с такой частотой, что верхняя нить всё время остаётся вертикальной

Рассмотрим систему шариков m и M, соединённых нитью длины l. Допустим, мы подобрали такой период колебаний T точки подвеса A, что при колебаниях нашего двойного маятника верхняя нить всё время остаётся вертикальной. Это значит, что все внешние силы, действующие на выделенную систему, а именно силы тяжести и сила натяжения верхней нити, направлены по вертикали. Отсюда следует, что центр масс системы не перемещается в горизонтальном направлении. Другими словами, шары в любой момент времени движутся в противоположных направлениях, а отношение их ускорений обратно пропорционально отношению масс:

a

a

=

M

m

.

(1)

Рис. 6.2. Если верхняя нить при колебаниях остаётся вертикальной, то центр масс шаров B не перемещается по горизонтали

С другой стороны, непосредственно из рис. 6.2 видно, что

a

a

=

s

l-s

(2)

Сравнивая (1) и (2), находим

s

=

l

1+m/M

.

(3)

Попытаемся теперь представить себе, что это за колебания. Ускорения обоим шарам сообщает горизонтальная составляющая силы натяжения нижней нити. Поскольку точка B (центр масс шаров) по горизонтали не перемещается, движение нижнего шара приближённо можно представить себе как свободные колебания математического маятника длиной s. Строго говоря, точка B совершает перемещения по вертикали, однако при небольшой амплитуде колебания маятника эти перемещения столь малы, что не влияют на период колебаний.

Период колебаний математического маятника длиной s равен T=2s/g Подставляя сюда s из формулы (3), получаем

T

=

2

l

g(1+m/M)

1/2

.