Флатландия. Сферландия

Предположим, что граница квадрата ABCD сделана из проволоки. Перерезав проволоку в вершине D, мы сможем развернуть границу квадрата и совместить ее с прямой, на которой лежит отрезок AB. При этом у нас получится одномерная фигура (рис. 2) длиной в четыре единицы. По обе стороны исходного единичного отрезка AB располагаются единичные отрезки DA и BC. Кроме того, к отрезку BС примыкает еще один единичный отрезок CD. Предположим теперь, что грани куба ABCDEFGH сделаны из тонкой фольги. Разрезав фольгу вдоль ребер EF, GH, HE, AE, BF, CG и DH, мы сможем развернуть поверхность куба на плоскость и получим двумерную фигуру, составленную из шести квадратов. К квадрату ABCD с каждой стороны примыкают единичные квадраты. Кроме того, к одному из таких квадратов примыкает еще один единичный квадрат FEGH (рис. 3). Аналогично если предположить, что кубы, ограничивающие четырехмерный единичный куб, сделаны из дерева и мы провели распилы вдоль соответствующих граней, то граничные кубы можно будет развернуть в трехмерную фигуру, составленную из восьми единичных кубов. К каждой грани куба ABCDEFGH примыкает по одному кубу. Кроме того, к свободной грани одного из примыкающих кубов «приклеен» еще один куб (рис. 4). Восемь кубов, образующих трехмерную фигуру, изображенную на рис. 4, составляют границу четырехмерного куба.

Рис. 4.

Ниже перечислены элементы, составляющие единичный отрезок, квадрат, куб и четырехмерный куб, а также их границы.

	Число точек	Число отрезков прямых	Число квадратов	Число кубов
Одномерный отрезок	M	1	0	0
Двумерный квадрат	M²	M	1	0
Трехмерный куб	M³	M²	M	1
Четырехмерный куб	M⁴	M³	M²	M
	Число вершин	Число ребер	Число граней (квадратов)	Число трехмерных граней (кубов)
Граница одномерного отрезка	2	1	0	0
Граница двумерного квадрата	4	4	1	0
Граница трехмерного куба	8	12	6	1
Граница четырехмерного куба	16	32	24	8

Приведенные выше рассуждения допускают непосредственное обобщение па случай единичного куба и более высоких размерностей.

Если одномерный отрезок неограниченно продолжить вправо за точку B и влево за точку A, так что длина его превзойдет любое сколь угодно большое число, то получится одномерное пространство. Аналогичным образом двумерное, трехмерное и четырехмерное пространства мы получим, неограниченно продолжив в обе стороны единичный квадрат, куб и четырехмерный куб.

Одномерный единичный отрезок отделен от остальной части одномерного пространства, в котором он лежит, двумя точками. Двумерный единичный квадрат отделен от остальной части двумерного пространства, в котором он расположен, четырьмя отрезками (сторонами). Трехмерный единичный куб отделен от остального пространства шестью квадратами. Аналогично четырехмерный единичный куб отделен от остальной части четырехмерного пространства, в котором он лежит, восемью кубами. Предположим, что мы хотим построить замкнутую фигуру любого числа измерений в пространстве того же числа измерений. Тогда в одномерном пространстве нам понадобятся для этого две точки, в двумерном пространстве — по крайней мере три прямые, в трехмерном пространстве — по крайней мере четыре плоскости и в четырехмерном пространстве — по крайней мере пять трехмерных пространств.

Так же как и в единичном отрезке, квадрате, кубе и четырехмерном кубе, из одной точки пространства в другую мы можем попасть, двигаясь вдоль фиксированных взаимно перпендикулярных направлений, число которых совпадает с размерностью пространства.

Рис. 5.

Время можно представить в виде одномерного пространства, ибо оно течет лишь в одном направлении из бесконечно далекого прошлого в бесконечно удаленное будущее (рис. 5). Настоящее время можно изобразить точкой, перемещающейся с постоянной скоростью по шкале времени (или неподвижной точкой, относительно которой равномерно перемещается шкала времени). Любого момента времени можно достичь, пройдя определенное расстояние (годы, месяцы и т. д.) от некоторой выбранной точки (начала новой эры).

Любая часть земной поверхности, если рассматривать ее как плоскость, представляет собой область двумерного пространства. Следуя по меридианам и параллелям, мы всегда можем добраться до любой точки земной поверхности. Примером трехмерного пространства может служить пространство, в котором находится наша Вселенная. Представить себе наглядно четырехмерное пространство невозможно.

Рис. 6.