Флатландия. Сферландия

До Декарта алгебру и геометрию считали различными математическими дисциплинами, никак не связанными между собой. Однако Декарт обнаружил, что алгебраические уравнения с двумя и тремя неизвестными удобно изображать в виде геометрических фигур. Рассмотрим метод Декарта на простом примере. Из элементарной алгебры известно, что в одном уравнении с двумя неизвестными, например в уравнении у = x² − 2х + 2, переменной x мы можем придавать любые значения. Подставив выбранное нами значение x в уравнение, мы найдем соответствующее ему значение неизвестной у. Например, если x = 1, то у = 1. Нетрудно проверить, что пары значений x = 2, у = 2; x = 3, у = 5; x = 4, у = 10; x = 5, у = 17 и т. д. также удовлетворяют уравнению. Чтобы представить себе уравнение у = x² − 2x + 2 наглядно, проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые. Эти прямые называются осями координат. От точки пересечения осей вдоль оси мы будем откладывать расстояния, равные в соответствующих единицах интересующему нас значению x, а по другой оси — расстояния, равные в соответствующих единицах значениям у. На рис. 1 правые концы отрезков, отложенных по оси x, обозначены буквами а, b, с, d и e, а верхние концы отрезков, отложенные вдоль оси у, — буквами а', b', с', d' и e'. Точки (а, а'), (b, b'), (с, с'), (d, d') и (е, е') называются точками кривой, описываемой уравнением у = x² − 2x + 2. Придавая переменной x значения, отстоящие друг от друга на сколь угодно малую величину, мы сможем нарисовать довольно подробный «портрет» нашей кривой. На рис. 2 показан отрезок кривой, описываемой уравнением у = x² − 2x + 2, который соответствует значениям x, заключенным в интервале от 0 до 5.

Рис. 1.

Возможно, что кому-нибудь график кривой покажется столь же мало понятным, как и описывающие кривую уравнения. Неспециалист, взглянув на чертеж, изображающий какой-нибудь предмет, увидит лишь хаотическое переплетение линий, в то время как опытному чертежнику или механику достаточно одного взгляда на чертеж, чтобы получить полное представление об устройстве предмета. Математик, взглянув на график, получает весьма точное представление о свойствах уравнения, описывающего соответствующую кривую.

Иногда у инженера или математика возникает необходимость наглядно изобразить алгебраическое уравнение, содержащее три неизвестных, например уравнение x + у + z = 10. Рассуждая по аналогии с уравнением, содержащим два неизвестных, мы можем получать значения z, соответствующие заданным значениям неизвестных x и у. Однако значения переменной z нельзя изобразить на одной плоскости со значениями переменных x и у. Нам необходимо иметь третью ось, ось z, вдоль которой мы будем откладывать значения z, и эта ось должна быть перпендикулярна осям x и у и проходить через точку их пересечения. Введя ось z, мы сможем изобразить наглядно уравнение с тремя переменными так же, как ранее мы изображали уравнение с двумя переменными. Придавая произвольные значения переменным x и у, мы будем вычислять соответствующее им значение переменной z и откладывать все три значения x, у и z, удовлетворяющие уравнению, вдоль соответствующих осей.

Рис. 2.

Наглядное представление уравнений с двумя и тремя неизвестными настолько помогает в решении трудных задач, что математик склонен интерпретировать аналогичным образом уравнение с четырьмя переменными, которые иногда встречаются в различных физических задачах. Для того чтобы наглядно изобразить уравнение вида x + y + z + w = 16, нам необходимо иметь четвертую ось, ось w, вдоль которой мы сможем откладывать значения переменной w. Такая ось должна быть перпендикулярна осям x, у и z в точке их пересечения. Дойдя в своих рассуждениях до этого места, математики обнаруживают, что зашли в тупик, ибо не могут построить четыре взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке. Это ограничительное свойство нашего пространства не позволяет математикам наглядно изображать уравнения с четырьмя переменными так же, как они изображали уравнения с двумя и тремя переменными, но это отнюдь не мешает им продолжать изучение уравнений с четырьмя неизвестными.

Люди постоянно размышляют о том, что бы произошло, если бы события развивались иначе, чем они развивались в действительности. Они пытаются предугадать, как развивалась бы история, если бы Наполеон выиграл битву при Ватерлоо. Физик вычисляет количество тепла, которое бы выделилось, если бы Земля внезапно остановилась на орбите. Не отстает от физика и математик. Не имея возможности построить четыре взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке, он тратит свое драгоценное время, пытаясь выяснить, что произошло бы в том случае, если бы ему все же удалось построить свои четыре перпендикуляра. Эти размышления и приводят математика к понятию четырехмерного пространства.