Но главное открытие для Флоренского на первом курсе — это Николай Васильевич Бугаев. Декан физико-математического факультета, президент Московского математического общества, учёный, ради трудов которого американские математики в ХХ веке учили русский язык, поражённые тем, что математика Бугаева — это, прежде всего, социальная антропология и в центре её не число, а «самодеятельный и самостоятельный индивидуум», не мыслящий субъект, а «духовная единица». Отец поэта Андрея Белого, с кем Флоренский станет очень дружен уже после смерти профессора и с кем вместе сопряжёт математические идеи Бугаева и идеи символизма. Большой патриот Отечества, Бугаев всегда был верен принципу: «жить — Богу служить». Бугаев — философ и поэт математики: свои лекции он наполнял множеством примеров из истории и литературы. «Высшая математика есть самая высокая музыка, самое высокое искусство, это гармония общих идей и интуиций», — говорил он.
Идея прерывных математических функций, идея аритмологии, которую Бугаев проецировал из математики на все области знаний, поразила и вдохновила Флоренского. Если не углубляться в математические тонкости, а перевести аритмологию Бугаева на гуманитарный язык, суть её примерно в следующем. В науке существуют два принципа познания, которые должны стремиться не к противопоставлению, а к взаимодополнению, — анализ и аритмология. Первый принцип предполагает, что всё в мире подчинено поступательному, непрерывному, эволюционному развитию. Второй принцип утверждает, что бывает и скачкообразное, прерывистое, революционное развитие. Если наука путём анализа смогла описать течение конкретного процесса, это не значит, что при других условиях в подобном процессе не будет изменений. Так, например, какие закономерности ни выводи из хода истории, масштабная историческая личность всегда может нарушить эти закономерности: «прерывность всегда обнаруживается там, где проявляется самостоятельная индивидуальность». В аритмологии важны не только причинно-следственные связи, но и цели. Важны не только вопросы «что?» и «почему?», но и вопрос «ради чего?». Оттого в науке начинают действовать этические и даже эстетические категории. Аритмологию Бугаева можно проиллюстрировать богословским суждением современника Флоренского С. Н. Дурылина: в православии единица всегда может стать равна миллиону, когда уверовавший разбойник оказывается со Спасителем в раю. Аритмология Бугаева — это возможность единицы в одночасье стать равной миллиону.
Идея прерывности так или иначе будет присутствовать во всех работах Флоренского — физических, инженерных, богословских, лингвистических, искусствоведческих. Он с восторгом пишет отцу о первом знакомстве с Бугаевым, называет математику «ключом к мировоззрению», для которого «нет ничего настолько неважного, чем не надо было бы заниматься, нет ничего не стоящего в связи с другим». В математике Флоренский прозревает возможность соловьёвского «всеединства», грядущий «великий синкретизм»: все нынешние знания человечества когда-то вышли из единой точки, пошли своими путями, стали вступать в противоборство; теперь же им предстоит примириться, снова сойтись. Такой точкой, примиряющей силой станет именно математика. Именно она согласует этику и эстетику с натурфилософией, выведет религию из «коморки» и поставит в центр научных знаний, а науку наполнит метафизическими смыслами. Математика — та самая истина для человеческого ума, которая живёт во всём и вбирает в себя всё.
С этой мысли начинается самозабвенная учёба Флоренского в университете, стремление «черпать истину отовсюду, где бы она ни находилась». Всё идёт размеренно, заведённым порядком, но аритмология Бугаева доказывает свою правоту, когда начинаются студенческие волнения 1901 года.
29 июля 1900 года правительство утвердило так называемые «временные правила». Согласно им, любой студент, принявший участие в демонстрации, подлежал отчислению, а в отдельных случаях отправке солдатом на военную службу. Правила вступили в действие и впервые были применены к студентам Императорского университета Святого Владимира в Киеве, участвовавшим в политических протестах в декабре 1900 года. В крупных городах страны это спровоцировало серьёзные волнения, что выразилось в студенческих сходках, забастовках и демонстрациях.
Студенческое сообщество в своём недовольстве разделилось на «политиков» и «академистов». Обе группы стояли за автономию высшей школы от министерств и ведомств, только первые были убеждены, что для этого нужно заменить самодержавный строй конституционным, а вторые считали, что следует не превращать университеты в «политические клубы», а добиваться исключительно академических реформ, отстаивать сугубо образовательные интересы и не лить воду на мельницу чьих-то подрывных целей.