Фокусы и игры

– Этого не может быть. Если без нашего ребра у соседней вершины сходится нечетное число ребер, то, значит, одно из ее непарных ребер соединено с какой-то другой вершиной, и следовательно, «нечетная» вершина еще будет найдена. Иначе говоря, если в фигуре имеется одна «нечетная» вершина, то непременно должна существовать и вторая. Число «нечетных» вершин не может быть нечетным. Поясню это еще и иным путем, пожалуй, более простым. Представьте, что вам нужно сосчитать число ребер в какой-то фигуре. Вы считаете ребра, сходящиеся в одной вершине, прибавляете ребра, сходящиеся во второй, потом – в третьей и т. д. Когда вы все это сложите, что у вас получится?

– Двойное число ребер фигуры, потому что каждое ребро считалось дважды: ведь каждое ребро соединяет две вершины.

– Именно. Вы получите удвоенное число ребер. И если допустить, что в одной из вершин сходится нечетное число ребер, а во всех прочих – четное, то результатом сложения будет, конечно, число нечетное. Но может ли удвоенное целое число быть нечетным?

– Не может, конечно. Теперь мне совершенно ясно, что «нечетных» вершин во всякой фигуре должно быть две, четыре, т. е. обязательно четное число. Все же я думаю, что и кристалл с двумя «нечетными» вершинами возможно обойти. Пусть у нас имеется фигура с двумя «нечетными» вершинами. Что мешает начать путешествие именно в одной из этих точек и закончить в другой? Тогда не понадобится ни возвращаться в первую, ни уходить из последней. Путешествие будет выполнено с соблюдением всех требуемых условий.

– Правильно! В этом и состоит секрет успешного выполнения подобных путешествий, или – что то же самое – правило вычерчивания фигур одним росчерком пера. Если потребуется непрерывным движением начертить фигуру – безразлично, в плоскости или в пространстве, – то прежде всего внимательно ее рассмотрите и определите, имеются ли у этой фигуры «нечетные» вершины, т. е. такие, у которых встречается непарное число линий. Если подобных вершин в фигуре больше двух, то задача неразрешима. Если только две, то нужно начать вычерчивание в одной «нечетной» точке и закончить в другой. Если «нечетных» вершин вовсе нет, то можно начинать чертить из любой вершины, и всегда найдется способ вычертить всю фигуру и вернуться в начальную точку. Каким путем вы в таком случае поведете перо – безразлично. Надо только заботиться о том, чтобы не вести линию к вершине, от которой нет больше пути, т. е. стараться не замыкать фигуру раньше времени. Вот пример: фигура в форме буквы Ф (рис. 2). Можно ли ее начертить одним росчерком пера?

– В ней всего две «нечетные» вершины – концы «палки». Значит, начертить ее одним росчерком пера возможно. Но как?

Рис. 2

Рис. 3

– Нужно начать с одного конца «палки» и кончить другим (рис. 3).

– В детстве я ломал голову над тем, чтобы начертить одним росчерком пера четырехугольник с двумя диагоналями (рис. 4). Мне этого никак не удавалось сделать.

Рис. 4

– И не удивительно: ведь в этой фигуре 4 «нечетные» вершины – углы четырехугольника. Бесполезно даже ломать голову Рис. 4 над этой задачей: она неразрешима.

– А что скажете вы о фигуре, изображенной на рис. 5?

– Ее тоже нельзя начертить одной непрерывной линией, потому что у нее 4 вершины, в каждой из которых сходится по 5 линий, т. е. у нее 4 «нечетных» вершины. Зато легко начертить фигуры, показанные на рис. 6 и 7: у них все вершины «четные» (решение для второй фигуры см. на рис. 8). Теперь перейдем к той задаче, которую решает наша муха: обойти по одному разу все ребра октаэдра, не отрывая пера от бумаги. На каждой вершине этой фигуры сходятся 4 ребра; в ней вовсе нет «нечетных» вершин. Поэтому можно начать путешествовать с любой вершины – вы обязательно возвратитесь в исходную точку. Вот одно из возможных решений (рис. 9).

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

– А знаете, это интересный род головоломок! Дайте мне десяток подобных задач, я подумаю о них на досуге.

– Извольте.

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Задача 10

Решения задач 1-10

Из фигур, представленных в задачах 1-10, безусловно, можно начертить непрерывной линией фигуры из задач 2, 4, 5, 7-10. В этих фигурах во всех точках пересечения сходится четное число линий, следовательно, каждая точка может быть начальной, она же будет и конечной. Выполнение фигур показано на рис. 10–18.

Фигура задачи 1 имеет только две «нечетные» точки – те места, где ручка молотка входит в головку: в этих точках сходится по 3 линии. Поэтому фигуру можно начертить непрерывной линией только в том случае, если начать из одной «нечетной» точки и кончить в другой.

То же относится и к фигуре задачи 3: она содержит только две «нечетные» точки, тип. Они и будут начальной и конечной точкой при черчении.

Фигура задачи 6 имеет более двух «нечетных» точек, а потому ее совершенно невозможно начертить одной непрерывной линией.

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18