Фон Нейман. Теория игр

При такой перспективе понятно, что независимо от ее выбора он всегда выберет футбол, поскольку это будет выигрышным решением в любом случае. А для нее, учитывая, что он всегда выберет футбол, лучшим решением будет пойти вместе с ним. Тогда это и будет седловой точкой, равновесием Нэша, то есть стратегией, которую всегда выберут оба игрока. В таком случае говорится, что есть доминирующий выбор или что у игрока есть доминирующая стратегия, которая для него предпочтительнее всех остальных. Могут быть случаи, когда доминирующей стратегией располагают оба игрока. Парадокс предыдущей ситуации состоит в том, что эта эгоистичная доминирующая позиция «я пойду на матч все равно, с тобой или без тебя» приводит к лучшему результату, чем в предыдущем случае.

ТРАНСФЕРАБЕЛЬНАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ

В статье «K теории стратегических игр», написанной в 1928 году, фон Нейман представил новый вариант игр с нулевой суммой и с количеством игроков большим 2. В их сценарии появилась новая переменная — возможные коалиции между игроками. Например, если имеется три игрока — А, В и С, — может случиться, что двое из них — А и В — объединятся против третьего, как если бы они были одним игроком, заключая договор о дележе выигрышей. В играх, изучавшихся до сегодняшнего дня, соперники не могли общаться друг с другом, чтобы заключать предварительные договоры. В этом случае говорят об играх с нетрансферабельной полезностью. Напротив, те игры, в которых игроки еще до начала игры могут общаться и заключать договоренности, называются играми с трансферабельной полезностью, или кооперативными.

Например, представим себе группу из трех друзей — А, В и С, — которым надо поделить между собой 100 евро. Решать, как будет происходить дележ, они будут простым голосованием, то есть большинством голосов. Возможными коалициями будут AB, АС_У

ВСу а также четвертая — АВС. С такими исходными данными можно установить бесконечное количество платежей:

А = 33; В = 33; С = 34

А = 70; В = 30; С = 0

А = 25; В= 70; С = 5

и так далее.

Таким образом, ни одна коалиция не будет стабильной. Анализ таких игр немного сложнее анализа некооперативных игр. В этом случае надо угадать, каковы шансы на создание стабильных коалиций, в которых распределение платежей будет происходить таким образом, что никто из их членов не будет заинтересован в выходе из коалиции. В обычной жизни такой анализ приводит к появлению некоего судьи, который сделает возможной оптимальную коалицию. Например, реальная ситуация, в которой необходим подобный метод, может возникнуть в Европарламенте, при распределении некоего бюджета между членами союза. Каждая страна имеет определенное количество депутатов с правом голоса.

Возможные коалиции между игроками являются фактором нестабильности, которым очень трудно управлять. В любом случае единственный способ применить здесь результаты для игр с двумя игроками и нулевой суммой — считать коалицию одним игроком. Если в некоем сценарии есть, например, четыре игрока А, В, С и D и создается коалиция между А, В и С, то эта группа игроков рассматривается как один игрок, соперничающий с D то тогда можно применить схему игры с двумя игроками и нулевой суммой.

Теорема о минимаксе и результаты теории игр имеют свои ограничения. Разумеется, они не являются безошибочным способом выиграть в любой игре, даже если речь идет о двух рациональных игроках. Эта теория предлагает прежде всего наилучший способ принятия решения. Рациональный игрок, играющий против нерационального, может создать техники игры, не имеющие ничего общего с теорией игр. Самое главное, что была создана математическая теория, способная моделировать сценарии и абстрагировать конкретные ситуации, чтобы рассмотреть их с точки зрения математической логики. В этом смысле теория игр имеет много общего с аксиоматизацией теории множеств и квантовой механикой — это и вызвало интерес фон Неймана и было основной причиной, по которой он занимался настолько отличными друг от друга областями. Он поднимал до уровня науки дисциплины, которым ранее этот уровень был несвойственен, как это случилось с экономической теорией.

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ