Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Нам незачем вдаваться в детали календаря империи, поэтому я для объяснения их метода ограничусь примером с квадратным корнем. С точки зрения арифметики это самая суровая часть во всей теме, так что предполагается, что вы не сможете проделывать это в уме на вечеринке в колледже, попивая пивко.

Чтобы применить подход Брахмагупты – Лю, понадобятся три квадратных корня, а не два: например: √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6. От √16 до √36, то есть от 4 до 6 – двадцать шагов, поэтому если вы последуете рецепту Великого Вычислителя и предположите, что корни будут образовывать арифметическую прогрессию, то расстояние между ее членами будет ²/₂₀. Я говорил вам, что это не совсем так, и вот доказательство: если бы эта последовательность была арифметической прогрессией, то √25 (девять шагов от √16) был бы 4,9, а он на самом деле равен 5.

Вот способ поправить дело. Только что мы убедились: нельзя настаивать на том, что квадратные корни образуют арифметическую прогрессию, если у нас есть какие-то три числа; иными словами, мы не можем считать все получающиеся разности одинаковыми.

Следующее предположение: пусть тогда эти разности сами образуют арифметическую прогрессию, то есть чтобы одинаковыми были разности между разностями! Но это в точности идея Фарра об отношениях отношений.

√16, √17, √18, √19, √20, √21, √22, √23, √24, √25, √26, √27, √28, √29, √30, √31, √32, √33, √34, √35, √36

????????????????????

Итак, чтобы это сработало, нам нужна во второй строке арифметическая прогрессия из двадцати чисел, сумма которых равна 2 (она будет убывать, потому что расстояния между корнями становятся все меньше и меньше); однако при этом сумма первых девяти чисел должна составлять 1, потому что они ведут от √16 = 4 до √25 = 5. Оказывается, существует всего одна подходящая прогрессия. Вот удобный способ ее найти.

Поскольку первые девять членов в сумме дают 1, то их среднее равно ¹/₉. Однако среднее в арифметической прогрессии с нечетным числом членов – это ее средний член, в нашем случае пятый, поэтому он равен ¹/₉.

С другой стороны, сумма последних одиннадцати членов тоже равна 1, поэтому их среднее составляет ¹/₁₁. Значит, их средний член (то есть пятнадцатый во всей последовательности) равен ¹/₁₁.

√16, √17, √18, √19, √20, √21, √22, √23, √24, √25, √26, √27, √28, √29, √30, √31, √32, √33, √34, √35, √36

???? ¹/₉????????? ¹/₁₁?????

И этого достаточно, чтобы восстановить всю прогрессию! От пятого члена до пятнадцатого – десять шагов, и при этом нам надо преодолеть расстояние от ¹/₉ до ¹/₁₁, то есть ²/₉₉. Следовательно, каждый шаг равен ²/₉₉₀. Это означает, что первая разность, которая на четыре шага больше, чем ¹/₉, равна ¹/₉ + ⁸/₉₉₀ = ¹¹⁸/₉₉₀, а последняя, которая на пять шагов меньше, чем ¹/₁₁, составляет ¹/₁₁ – ¹⁰/₉₉₀ = ⁸⁰/₉₉₀[423].

√16, √17 ………………………………………. √35, √36

¹¹⁸/₉₉₀ ………………………………. ⁸⁰/₉₉₀

………..¹/₉ …………………..¹/₁₁ ……….

Так чему же равен √29 в соответствии с последними достижениями астрономии VII века? Чтобы дойти от √16 до √29, нужно сложить первые тринадцать разностей:

¹¹⁸/₉₉₀ + ¹¹⁶/₉₉₀ + ¹¹⁴/₉₉₀ + … + ⁹⁴/₉₉₀

и добавить их к 4. Вы получите 4 + ¹³⁷⁸/₉₉₀, то есть примерно 5,392. Это приблизительно втрое точнее нашей первой оценки 5⁴/₁₁.

Метод последовательных разностей попал из Индии в арабский мир, а затем несколько раз был переоткрыт в Англии, в первую очередь Генри Бригсом. В 1624 году он опубликовал работу «Арифметика логарифмов» – таблицы логарифмов для тридцати тысяч чисел с точностью до четырнадцати знаков. (Бригс был первым профессором геометрии в Грешем-колледже – та самая должность, которую позже занимал Карл Пирсон, знакомивший своих слушателей со статистикой.) Как и многое другое в европейской математике XVII века, этот метод был формализован и усовершенствован Ньютоном, так что в итоге мы его называем интерполяционным методом Ньютона. В сочинениях Фарра нет никаких свидетельств, что он знал что-нибудь об этой истории. Хорошие идеи в математике часто возникают естественным образом, когда реальные проблемы мира создают потребность в их появлении.