Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Работа Бригса не исчерпала проблему логарифмов. Таблицы – вещь конечная, и всегда может оказаться, что вам нужен логарифм какого-то числа, лежащего между числами, включенными в «Арифметику логарифмов». Гениальность метода разностей состоит в том, что он позволяет получать оценки для весьма сложных функций, например косинусов и логарифмов, используя только операции сложения, вычитания, умножения и деления, поэтому при необходимости вы всегда можете заполнить пробелы между числами, указанными в книге. Однако, как демонстрирует пример с квадратными корнями, вам придется много складывать, вычитать, умножать и делить – и это при том, что вы изучаете всего лишь разности разностей! Чтобы получить еще лучшее приближение, вам могут понадобиться разности разностей разностей или даже разности этих тройных разностей, а то и дальше, пока у вас не закружится голова.

Вам не захочется делать это вручную. Возможно, вам понадобится какой-то механический вычислитель, который будет считать эти разности вместо вас. Это приводит нас к Чарльзу Бэббиджу, который был очарован автоматами с самого детства, когда «человек, назвавший себя Мерлином»[424] позволил мальчику войти к себе в мастерскую и показал свое самое гениальное механическое творение. Позже Бэббидж вспоминал: «Восхитительная танцовщица[425] с птицей на указательном пальце правой руки, которая вертела хвостом, хлопала крыльями, открывала клюв. Эта дама принимала удивительно очаровательные позы. Ее глаза были полны воображения и совершенно неотразимы».

В 1813 году Бэббиджу исполнился 21 год и он изучал математику в Кембридже. Вместе со своим другом Джоном Гершелем (который превзошел Бэббиджа в исследованиях и позднее изобрел цианотипию, которая стала использоваться для получения светокопий) он основал математическое общество – своеобразную пародию на множество студенческих обществ, горячо споривших о правильном толковании Писания. Задачей их общества было возвысить систему математических обозначений Лейбница над системой, которой пользовался местный герой – Ньютон. Это аналитическое общество быстро переросло свое сатирическое происхождение и превратилось в настоящий интеллектуальный салон, нацеленный на перенос новых идей из Франции и Германии в страну, которая после Ньютона стала чем-то вроде математического захолустья.

«Однажды вечером[426], – вспоминает Бэббидж в мемуарах, – я сидел в комнатах аналитического общества в Кембридже, склонив голову в каком-то мечтательном настроении над лежавшей передо мной открытой таблицей логарифмов. Другой член общества, войдя в комнату и увидев полусонного меня, воскликнул: “Бэббидж, о чем грезишь?” – на что я ответил: “О том, что все эти таблицы (указав на логарифмы) могут вычислять машины”».

Бэббидж, как и его вдохновитель Мерлин, быстро превратил мечту в медь и дерево. Его машина, которую теперь считают первым механическим компьютером, умела вычислять логарифмы с помощью метода разностей, поэтому он и назвал ее «Разностной машиной».

Существует одно огромное различие между работой Великого Вычислителя Корней и работой Фарра. Когда мы оценивали квадратные корни, мы находили значения, лежащие между уже известными нам корнями, – такой процесс называется интерполяцией. Фарр, используя известные данные по числу больных коров, пытался экстраполировать – оценивать значение функции в будущем, за пределами диапазона имеющихся данных. Экстраполяция сложна и имеет много подводных камней[427]. Представьте, что произойдет, если с помощью нашего вечериночного трюка мы возьмемся оценивать корень из 49, то есть из числа, которое больше тех двух чисел, что мы использовали в качестве исходных данных. Как вы помните, наша приближенная оценка состояла в том, что корень увеличивается на ¹/₁₁ каждый раз, когда число растет на 1. Поскольку 49 превосходит 25 на 24, то корень из него должен быть на ²⁴/₁₁ больше, чем 5, или примерно 7,18. Истинное значение равно 7. А как насчет 100? Оно больше 25 на 75, так что корень из 100 должен быть 5 + ⁷⁵/₁₁ ≈ 11,82. Настоящее значение 10. Теперь этот трюк плохо пахнет!

Вот в чем опасность экстраполяции. Она становится менее надежной, когда вы отходите от известных данных, на которых строятся ваши разности. И чем глубже вы погружаетесь в разности разностей разностей, тем страннее становятся экстраполяции.