Футболоматика: как благодаря математике «Барселона» выигрывает, Роналду забивает, а букмекеры зарабатывают состояния

Как может неосведомленный букмекер и горстка людей, часть из которых верят в полное отсутствие угловых в матче, лишить такого умного человека, как вы, возможности заработать на ставках? Ответ находится в среднем догадки толпы.

В то время как игроки в равной степени могут выбрать любой результат от 0 до 22, средним будет 10,5[135]. Это именно то среднее значение угловых, о котором вы знали все время. Хотя менее 10 % игроков изначально предполагали диапазон 10–11, спред быстро смещается в сторону среднего. Букмекеры используют коллективную мудрость толпы, чтобы установить свои спреды. Как бы вы ни были умны, вы не сможете действовать настолько быстро, чтобы превратить свои знания в деньги.

Не настолько умная

Мы, математические моделисты, всегда должны сомневаться в сделанных нами предположениях. Моя модель ставок на спреды показывает, что если среднее значение толпы близко к правильному ответу, букмекеры будут смещать спред в сторону этого значения и, соответственно, правильного ответа. Но это слишком большое «если». Почему мы должны предположить, что среднее значение прогнозов о количестве угловых ударов в игре множества неосведомленных людей будет верным?

Этот вопрос является реальной проблемой для всей концепции мудрости толпы. Пока что я представил ограниченное экспериментальное доказательство: всего три примера, каждый из которых выполнен по-своему. Экономисты провели более тщательные экспериментальные испытания. Одним из первых был Iowa Electronic Market, который является некоммерческим рынком ставок на выборы президента или палаты представителей в Соединенных Штатах. Более свежим примером является сайт прогнозирования PredictIt, где вы можете сделать ставку на то, выйдет ли Великобритания из ЕС, будет ли Северная Корея тестировать ядерное оружие и станет ли Хиллари Клинтон президентом США.

Есть некоторые свидетельства того, что эти рынки работают. Iowa Electronic Market дал очень четкое предсказание победы Обамы в 2012 году. В течение недель, предшествующих этим и другим недавним выборам в США, Iowa Market предсказал результаты точнее, чем опросы общественного мнения[136]. Тем не менее и букмекеры, и опросы абсолютно не угадали с результатами всеобщих выборов в Великобритании. В начале дня голосования шансы Дэвида Кэмерона и Эда Милибэнда на то, чтобы стать следующим премьер-министром, были примерно одинаковыми, однако Кэмерон и консервативная партия получили большинство голосов, которое никто не предсказывал[137]. Толпу не всегда получается взять в расчет для предсказаний на будущее.

В своем эксперименте на выставке в Берлине Йенс и Стефан Краузе поставили перед публикой еще один вопрос. Они попросили тех же людей, что принимали участие в эксперименте с шариками в банке, «определить, сколько раз нужно подбрасывать монету для того, чтобы вероятность выпадения орла была примерно равна шансу выиграть в немецкой лотерее». Честно говоря, даже мне, математику, этот вопрос кажется запутанным. Но давайте вникнем в ситуацию. В немецкой лотерее 49 шаров, пронумерованных от 1 до 49. Для победы все шесть шаров, выпавших из лототрона, должны быть указаны в билете. Вероятность того, что первый номер окажется в вашем билете, составляет 6/49, поскольку у вас есть 6 номеров и 49 шаров. Если первый шар совпадает с одним из ваших номеров, вероятность того, что второй шар также верен, равна 5/48, ведь у вас осталось 5 номеров, а в лототроне 48 шаров. Процесс продолжается, вероятность совпадения третьего шара равна 4/47 и так далее до вероятности в 1/44 для последнего шара. Таким образом, вероятность выигрыша составляет

Теперь давайте вернемся к подбрасыванию монетки. Вероятность выпадения орла с первого раза равна 1/2. Соответственно вероятность выпадения двух орлов подряд 1/2 × 1/2 = ¼, а трех – 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8. Если мы продолжим умножать на 1/2, то вероятность достигнет маленького значения очень быстро. Если мы сделаем так 24 раза, то получим

Это значение не точь-в-точь равно вероятности победы в лотерее, но с точки зрения этих малых вероятностей оно наиболее близкое. Итак, ответ на задачу Йенса и Стефана – 24.

В Берлине только 6 % прогнозистов дали правильный ответ. 10 % сказали, что попыток должно быть 1000, больше 15 % пошли на максимально допустимый ответ 1500, а 4,5 % считали, что ответ – всего шесть. Вероятность получить шесть орлов подряд равна 1/64, а шанс на выпадение 1000 настолько мал, что нам понадобилось бы пол-листа, чтобы записать все цифры этой дроби. Большинство людей не очень хорошо отвечали на вопросы о вероятности, и выступление этой группы не было особенно впечатляющим. Среднее значение догадки составило 498, в 20 раз больше верного ответа.