Гельголанд. Красивая и странная квантовая физика

i. Объем в принципе доступной существенной информации о физическом объекте⁷⁰ ограничен.

ii. Взаимодействие с объектом всегда дает возможность получить новую существенную информацию.

На первый взгляд, эти два постулата кажутся противоречащими друг другу. Если информация ограничена, то каким образом можно получить новую информацию? Но это противоречие кажущееся, потому что в постулатах говорится о «существенной» информации. Существенная информация – это та, которая позволяет определять поведение объекта в будущем. С получением новой информации часть старой становится «несущественной», то есть от нее совершенно перестает зависеть наше суждение о поведении объекта в будущем⁷¹.

В этих двух постулатах сформулирована суть квантовой теории⁷². Давайте теперь поподробнее.

i. Объем информации ограничен – принцип Гейзенберга

Если бы мы с бесконечной точностью знали все физические величины, описывающие нечто, то располагали бы бесконечным объемом информации. Но это невозможно – предел устанавливает постоянная Планка ℏ⁷³. Именно в этом состоит ее физический смысл. Это предельная точность, с которой возможно определение физических величин.

Это принципиальное обстоятельство Гейзенберг установил в 1927 году, вскоре после создания им теории⁷⁴. Он показал, что если точность имеющейся у нас информации о положении объекта равна ΔX, а точность информации о скорости этого объекта (умноженной на его массу) равна ΔP, то обе эти величины не могут быть одновременно сколь угодно малыми. Произведение точности двух величин не может быть меньше некоего минимального значения, равного половине постоянной Планка. Соответствующая формула имеет вид

ΔX ΔP ≥ ℏ/2

и гласит: «дельта X, умноженное на дельта P, всегда больше или равно половины h с чертой». Это всеобщее свойство реальности называется «принцип неопределенности Гейзенберга». Он справедлив для всего.

Непосредственным следствием этого является дискретность. Например, свет состоит из фотонов – «крупинок света», потому что существование более мелких порций энергии нарушило бы рассматриваемый принцип – величины электрического и магнитного полей (в случае света они играют роль X и P) оказались бы одновременно слишком точно определенными в противоречии с первым постулатом.

ii. Неисчерпаемость информации – некоммутативность

Принцип неопределенности не исключает возможности с высокой точностью измерить скорость частицы, а потом с высокой же точностью измерить ее положение. Это возможно, но после второго измерения скорость уже не будет равна ранее измеренной – в ходе измерения положения информация о скорости теряется, то есть если измерим ее снова, то обнаружим, что она изменилась.

Это следует из второго постулата, гласящего, что даже после получения максимального объема информации об объекте мы можем узнать нечто неожиданное (правда, потеряв при этом ранее полученную информацию). Прошлое не определяет будущее – мир вероятностен.

Поскольку измерение P изменяет X, то, если измерить сначала X, а потом P, результат окажется отличным от того, что получится, если сначала измерить P, а потом X. Следовательно, математически «сначала X, а потом P» должно отличаться от «сначала P, а потом X»⁷⁵. Именно таким свойством обладают матрицы – важен порядок операций⁷⁶. Помните единственное новое уравнение в квантовой механике?

XP − PX = iℏ.

Оно как раз означает, что «сначала X, а потом P» отлично от «сначала P, а потом X». Насколько отлично? На величину, зависящую от постоянной Планка – шкалы квантовых явлений. Именно поэтому работают матрицы Гейзенберга – они позволяют учесть порядок получения информации.

Да и сам принцип Гейзенберга, то есть уравнение на предыдущей странице, выводится за несколько шагов из уравнения на этой странице, в котором, следовательно, заключено все. Это уравнение представляет собой математическую формулировку обоих постулатов квантовой механики. Насколько мы это понимаем сейчас, два упомянутых постулата представляют физический смысл уравнения.

В дираковском варианте квантовой механики не нужны даже матрицы: в ней все выводится с помощью «некоммутативных переменных», то есть переменных, удовлетворяющих рассматриваемому уравнению. «Некоммутативность» означает невозможность безнаказанно изменять порядок переменных. Дирак называл определяемые этим уравнением величины их «Q-числами». Математики же называют это пафосным термином «некоммутативные алгебры». Дирак пишет о физике как поэт, упрощая все до крайности.