Геометрия и "Марсельеза"

И что совершенно в духе Монжа, решил он эту задачу методами геометрическими. И опять-таки двинул саму науку вперед. Еще один удар по неверию в возможности его любимой геометрии! Мемуар Монжа о выемках и насыпях — яркое свидетельство того, что проницательный взгляд ученого и в выработанном штреке находит изумительные по красоте камни.

Глубокая геометрическая интуиция, смелость полета мысли, пусть даже и не очень строгая доказательность — яркая черта дарования Монжа. «Она, — писал М. Я. Выговский в предисловии к русскому переводу книги Монжа «Приложение анализа к геометрии», — ведет иногда Монжа к ошибкам, которых он не сделал бы, если бы шел осторожнее. Но тогда он, вероятно, оставил бы нетронутыми многие из тех проблем, которые он разрешил. И здесь Монж не является исключением: во все времена новые методы математического исследования создавались на пути пренебрежения к строгости и точности, на пути предвосхищения результатов смелой фантазией исследователя».

Что же нашла фантазия Монжа в ямах и насыпях, без которых не обходится ни одна стройка? Рассматривая систему линий, соединяющих точки, из которых следует взять «молекулы земли», с точками, куда их надо поместить (при условии минимальных затрат), он приходит к сложной геометрической задаче, еще не решенной никем, доказывает ряд новых положений и теорем, вводит понятие о конгруэнции и о линиях кривизны. Это новое понятие, вошедшее затем в научный обиход (до Монжа знали только радиус кривизны плоской кривой), вскоре нашло применение совсем в иных областях: ученик Монжа Малюс использовал его при решении оптической задачи, а сам Монж — в теории сооружения сводов. Главное же — найден новый инструмент для изучения пространственных объектов, геометрия получила новый толчок.

«Не кажется ли вам, — писал Лагранж Д’Аламберу, — что высшая геометрия идет к некоторому упадку?» А Монж тем временем написал еще один мемуар, вошедший в историю науки. Название его звучит скучновато: «Мемуар о развертках, радиусах кривизны и различных родах перегиба кривых двоякой кривизны». Не будем вдаваться в его изложение, но отметим, что и он пролежал без опубликования довольно долго (четырнадцать лет) и что, невзирая на это неблагоприятное обстоятельство, мезьерские работы Монжа в области дифференциальной геометрии положили начало новому направлению математической мысли, направлению настолько продуктивному, что, по всеобщему признанию, и конец XVIII и начало XIX века прошли под знаком замечательных идей Монжа.

Назовем, наконец, не следуя хронологии, а сообразуясь лишь с логикой повествования, знаменитый мемуар Монжа, посланный им в Туринскую академию в самом начале его трудов на ниве дифференциальной геометрии. В этом мемуаре речь шла об описании поверхностей на основе нового подхода. Великие предшественники Монжа Ньютон и Эйлер тоже, грешным делом, занимались этим вопросом. Они пытались классифицировать поверхности в зависимости от вида описывающих их уравнений. Однако встретив непреодолимые трудности, оба гения бросили эту тему.

Монж подошел к ней не как аналитик, а как инженер. Ему не важно было знать, существует ли алгебраическое уравнение, соответствующее той или иной кривой поверхности, и будет ли оно найдено. Его интересовал вопрос: как задать поверхность, чтобы ее можно было выполнить в материале? О способе задания любых поверхностей, а не тех только, которые научились аналитически выражать высочайшие умы, он и рассказал в своем мемуаре. Главная идея Монжа вытекала не из статического восприятия объектов, а из движения, которое могло бы образовывать (порождать) ту или иную поверхность. Подобие тому — гончарные изделия, известные с древнейших времен. Мы не знаем, да в этом и нет надобности, уравнения кривой, по которой шла рука виртуоза-гончара, создававшего шедевр уникальной формы. Но мы знаем закон, во которому эта поверхность образована, как и тысячи других, не менее изощренных: эта поверхность порождена вращением.

Суждения Монжа о способах задания поверхностей, выражающих их происхождение, были напечатаны в Записках Туринской академии, что и сделало его имя известным. Своему мемуару он предпослал тогда небезынтересную оговорку: «Я уверен, — писал он, — что идеи часто остаются бесплодными в руках людей обыкновенных, а искусные геометры извлекают из них большую пользу. По этой причине препровождаю мои исследования в Туринскую академию».

На эту тонкую похвалу туринским геометрам Лагранж отозвался е обычным для него просторечием: «Этот дьявол со своим происхождением поверхностей идет к бессмертию».

История подтвердила справедливость суждения Лагранжа. Говорят, что он очень завидовал Монжу именно в этом. Я бы очень хотел, с восхищением говорил он, чтобы это открытие было сделано мной.

Прощай, Мезьер!