Читаем Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс полностью

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Луч q проходит между сторонами ОА и OB угла AOB (рис. 8).

Рис. 8.

Углы измеряют в градусах и радианах. При этом ? радиан = 180°.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами (рис. 9).

Рис. 9.

Сумма смежных углов равна 180°.

Лучи p и q – дополнительные, точка В принадлежит лучу p а точка А принадлежит лучу q. Углы СОА и СОВ – смежные.

Угол, равный 90°, называется прямым.

Угол, меньший 90°, называют острым углом. Угол, больший 90° и меньший 180°, называют тупым (рис. 10, а; б; в).

Рис. 10.

Углы:?АОВ – прямой, ?COD – острый, ?EOF – тупой.

На рисунках прямые углы часто обозначают знаками ?, ?.

Два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого (рис. 11).

Рис. 11.

р и q – дополнительные лучи одной прямой, а m и n – дополнительные лучи другой прямой. Точка О – точка пересечения этих двух прямых и является начальной точкой всех указанных выше лучей.

Точки А, В, С, D лежат на соответствующих лучах.

Углы АОВ и COD – вертикальные.

Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Перпендикулярность прямых обозначается знаком ? (рис. 12):

а ? b.

Рис. 12.

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра (рис. 13):

АA' – перпендикуляр к прямой a, A' – обоснование перпендикуляра.

Рис. 13.

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам (рис. 14).

Рис. 14.

ОС – биссектриса угла АОВ (?АОС = ?ВОС).

Пусть две прямые a и b пересечены прямой с.

Прямая с по отношению к прямым a и b называется секущей (рис. 15).

Рис. 15.

Углы 3 и 5 (4 и 6) называются внутренними накрест лежащими, углы 3 и 6 (4 и 5) – внутренними односторонними, углы 1 и 6 (2 и 5) – соответственными.

Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. Для обозначения параллельности прямых используется знак||(рис. 16):

а||b.

Рис. 16.

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами (рис. 17):

?ABC.

Рис. 17.

Углом треугольника ABC при вершине А называется угол, образованный отрезками АВ и АС. Также определяются углы треугольника при вершинах В и С.

Две фигуры называются равными, если они при наложении друг на друга совпадают (т. е. существует движение, переводящее одну фигуру в другую). Таким образом, треугольники равны, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны (при этом соответствующие углы лежат против соответствующих сторон).

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника (рис. 18).

Рис. 18.

?ABC – равнобедренный (АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание).

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (рис. 19).

Рис. 19.

? DEF– равносторонний (DE = EF = DF).

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника (рис. 20, а; б).

Рис. 20.

ВН – высота в треугольнике ABC (ВН ? АС).

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (рис. 21).

Рис. 21.

AL – биссектриса в треугольнике ABC (?BAL = ?CAL).

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 22).

Рис. 22.

AM – медиана треугольника ABC (BM = MC).

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине (рис. 23).

Рис. 23.

? – внешний угол ?ABC при вершине А.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол (рис. 24).

Рис. 24.

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

?ABC – прямоугольный (?А = 90°). АВ и АС – катеты, ВС – гипотенуза.

Треугольник называется остроугольным, если все его углы – острые. Треугольник называется тупоугольным, если у него есть тупой угол.

?ABC – остроугольный, ?А < 90° (рис. 25, а);

?ABC – тупоугольный, ?А > 90° (рис. 25, б).