Геометрия скорби. Размышления о математике, об утрате близких и о жизни

Укажем здесь два видоизменения рассмотренной ситуации, хотя существуют и многие другие. Все результаты взяты из нескольких источников, все они собраны в шестой главе моей книги «Фрактальные миры: как их выращивать, выстраивать, воображать»[133].

Сначала рассмотрим случайные фракталы. Это значит, что вместо применения одних и тех же коэффициентов подобия на каждой итерации построения фрактала каждый коэффициент подобия может теперь принимать одно из нескольких значений с заданными вероятностями. В этом случае уравнение Морана выглядит так:

E (r_i^d) +… + E (r_N^d) = 1,

где E (r_i^d) – среднее значение величины r_N^d – среднее значение величины. Назовем это стохастическим уравнением Морана.

На рисунке со следующей страницы – случайный фрактал, состоящий из N = 4 частей, каждая из которых имеет коэффициент подобия r = 1/2 с вероятностью 1/2 и r = ¼ с вероятностью 1/2. Тогда для каждой части среднее значение задается формулой

E (r_i^d) = 1/2 (1/2) ^d + 1/2 (1/4) ^d.

Снова введем обозначение x = (1/2) ^d, тогда

x² = (1/4) ^d. После чего стохастическое уравнение Морана превращается в квадратное уравнение 2x + 2x² = 1, откуда получаем размерность

Но что это за число? Разумеется, различные последовательности выбора коэффициентов 1/2 и ¼ дадут нам разные случайные фракталы. Вычисленная нами размерность является средним значением размерностей, которые мы могли бы получить, если бы по тому же алгоритму сгенерировали много фракталов.

Наконец, вернемся к фракталу, изображенному в первой главе. Он получен при помощи четырех преобразований с одинаковыми коэффициентами подобия r = 1/2, но при этом разрешены лишь некоторые их комбинации.

Чтобы это выразить, можно, например, обозначив квадранты фрактала метками 1 (нижний левый), 2 (нижний правый), 3 (верхний левый) и 4 (верхний правый). Разрешенные и запрещенные комбинации можно закодировать в виде матрицы. Порядковый номер строки задает квадрант, а порядковый номер столбца – субквадрант этого квадранта. Например, значение в первой строке и втором столбце соответствует нижнему правому субквадранту внутри нижнего левого квадранта. Число 0 в матрице означает, что соответствующий субквадрант не занят, а число 1 – занят. Тогда матрица, кодирующая показанный выше фрактал, имеет вид

Поскольку все коэффициенты подобия равны r = 1/2, мы получаем уравнение

(1/2) ^d ρ[M] = 1,

которое можно назвать уравнением Морана с памятью.

Множитель ρ[M] называется спектральным радиусом M. Это наибольшее собственное значение матрицы M. Мы не станем здесь объяснять, как вычисляются собственные значения.

Загляните в любую книгу по линейной алгебре или в Приложения А.83 и А.84 «Фрактальных миров». Для нашей матрицы M собственными значениями являются числа 1±√3, 1 и 1. Количество собственных значений равно числу строк (или столбцов) матрицы, при этом некоторые собственные значения могут повторяться, как в нашем примере собственное значение 1. Спектральный радиус равен ρ[M] = 1 + √3, и, решив уравнение Морана с памятью относительно d, мы получаем

Можно перечислить еще много видоизменений уравнения Морана. Например, есть версия уравнения Морана для случая, когда коэффициент подобия изменяется в зависимости от положения аргумента преобразования. Но нам пока этого достаточно.

Последнее замечание об уравнении Морана. В некоторых из наших примеров мы сводили его к квадратному уравнению. А что делать, если в результате решения квадратного уравнения мы получим комплексное число? Такого просто не может быть: уравнение Морана всегда имеет решение, причем только одно. См. Приложение А.76 «Фрактальных миров».

А теперь кое-что мелким шрифтом об измерении и размерности.

Если мы попытаемся найти меру фигуры при помощи некоторого объекта размерности меньше, чем размерность этой фигуры, то в ответе мы получим ∞; если же мы проводим измерение при помощи объекта размерности большей, чем размерность исходной фигуры, то в ответе получим 0. Расчеты здесь довольно сложные, но можно проиллюстрировать саму идею на следующем примере. Возьмем в качестве фигуры заполненный единичный квадрат – он, несомненно, двумерен.

Представьте, что для измерения его длины мы пытаемся покрыть квадрат бесконечно тонкой нитью. Такая нить любой конечной длины оставит много непокрытых участков, поэтому для покрытия квадрата нужна нить бесконечной длины.

С другой стороны, квадрат помещается в коробку с основанием в форме единичного квадрата и высотой h для любого h > 0. Объем такой коробки V = 1²h = h. По мере того как мы берем всё меньшие значения h, объем коробки приближается к нулю, поэтому объем квадрата равен 0.