Геометрия скорби. Размышления о математике, об утрате близких и о жизни

Чтобы показать, что квадратный корень из 2 не является отношением двух целых чисел, мистер Гриффит рассуждал так. Предположим, что можно записать √2 в виде отношения целых чисел, скажем, √2 = a/b, и пусть эта дробь несократима (так, например, вместо ¹⁴/₁₀ мы возьмем 7/5). Теперь возведем обе части в квадрат и получим 2 = a²/b², откуда 2b² = a². Каким является число a², четным или нечетным? Оно четное, поскольку равно удвоенному числу b². Тогда каким является само число a, четным или нечетным? Ну раз квадрат четного числа всегда четен, а квадрат нечетного числа всегда нечетен, значит, число a должно быть четным. Это означает, что a = 2c для некоторого целого числа c. Теперь вернемся к равенству 2b² = a². Видите, в чем проблема? Хм, 2b² = a² = (2c)² = 4c². Теперь поделим эти равенства на 2. Что мы видим? Оказывается, b² = 2c², откуда b² – четное число, значит, и b – четное число, но в этом-то и проблема, что оба числа a и b – четные, а мы взяли несократимую дробь a/b. Ха, как здорово.

О ФРАКТАЛАХ МЕЛКИМ ШРИФТОМ

Когда мы говорим, что треугольник Серпинского – единственная фигура, не изменяемая при применении к ней правил треугольника, надо проявить некоторую осторожность. Треугольник Серпинского не является единственной такой фигурой. Например, если применить три правила треугольника ко всей плоскости, то в результате мы снова получим всю плоскость. Зато можно утверждать, что треугольник Серпинского – единственная замкнутая и ограниченная фигура, которая не изменяется при применении к ней всех трех правил треугольника.

Фигура называется замкнутой, если ее дополнение – открытая фигура, а открытой называется фигура, каждая точка которой является центром небольшого круга, лежащего целиком внутри этой фигуры. К примеру, фигура {(x, y): x² + y² < 1} является открытой, а {(x, y): x² + y² ≤ 1} таковой не является.

Фигура называется ограниченной, если ее можно заключить внутри окружности достаточно большого радиуса.

НЕМНОГО О ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

В этом разделе гораздо больше математики, чем в остальных главах книги. Здесь мы вкратце обрисуем геометрию размерностей, о которой уже говорилось в пятой главе. Не будем выходить за рамки простой геометрии; в реальном мире всё сложнее из-за присущей природе зашумленности. Мы начали говорить о размерности, задавшись вопросом: сколько копий некоторой фигуры возникнет, если удвоить ее ширину и высоту? Но будет еще проще обобщить другой, связанный с этим подход. Вместо того чтобы увеличивать фигуру, мы оставим ее прежние размеры и попытаемся разбить ее на более мелкие копии, подобные целой фигуре. Мы уже рассматривали такую декомпозицию для треугольника Серпинского: он состоит из трех своих копий, масштабированных с коэффициентом 1/2. Обозначим число копий как N, а коэффициент подобия – как r. Тогда фрактальная размерность d будет задаваться соотношением

N = (1/r)^d.

Почему здесь стоит 1/r? Потому что N больше 1, а r меньше 1, и, по крайней мере, в этих условиях d является положительным числом. Чтобы найти d, возьмем логарифм от обеих частей равенства, используем известную из алгебры формулу log((1/r)^d) = d log(1/r) и разрешим уравнение относительно d:

В основе этого вычисления лежит предположение о самоподобии фигуры, поэтому d называется размерностью подобия. Для треугольника Серпинского размерность подобия равна

Предположим, что фигура самоподобна, но коэффициенты подобия ее частей неодинаковы. Возможно, каждая из N частей имеет свой коэффициент подобия, r₁,…, r_N.

Формула для вычисления размерности подобия не позволяет включить более одного коэффициента подобия. Но мы можем записать выражение N = (1/r)^d в виде

Nr^d = 1, то есть r ^d +… + r^d = 1,

где r ^d +… + r^d – это N слагаемых

Поскольку теперь у нас есть свое слагаемое для каждого коэффициента подобия, то в этом уравнении для размерности подобия найдется место для различных коэффициентов:

r₁d +… + r_Nd = 1.

Это так называемое уравнение Морана.

Например, здесь мы видим фрактал с различными коэффициентами подобия. Как показано на схематическом изображении справа, в этом фрактале

r₁ = r₂ = r₃ = 1/2,

r₄ = r₅ = 1/4,

и поэтому уравнение Морана принимает вид

3(1/2) ^d + 2(1/4) ^d = 1.

Можно подумать, что это уравнение необходимо решать численно, поскольку мы не можем разрешить его относительно d, взяв логарифм от обеих частей равенства. Но в данном случае есть другая возможность, поскольку (1/4) ^d = ((1/2)²) ^d = ((1/2) ^d)².

Путем введения обозначения (1/2) ^d = x уравнение Морана приводится к квадратному уравнению

3 x + 2 x ² = 1.

Применив формулу для корней квадратного уравнения, мы находим x = (−3 ± √17)/4. Поскольку x = (1/2) ^d – положительное число, мы берем x = (3 + √17)/4. Наконец, чтобы найти значение d, вычислим логарифм от обеих частей равенства

и найдем отсюда d: