О родителях Кульнева известно очень немногое. Его отец, Петр Васильевич, «верой и правдой» служил отечеству. Однако больших чинов достичь он не смог. Офицерский чин Петр Васильевич заработал кровью во время Семилетней войны. Очевидно, тогда же, в Пруссии, он женился на Луизе Ивановне, урожденной Гребинниц. Яков Петрович отзывался о матери с необыкновенной теплотой и говорил, что она была «воспитана в лучших традициях лютеранской добродетели». Известно также, что она вела переписку с А. В. Суворовым. По свидетельствам современников, Яков Петрович до конца ее жизни треть своего жалованья отсылал матери.
Семья Кульневых не утопала в роскоши. Все ее состояние заключалось в офицерском жалованье отца и в родовом поместье Болдырево Калужской губернии с 25 душами крепостных. Отец часто отлучался из дома по служебным делам, и все заботы по воспитанию детей (их было семь человек: шесть сыновей и одна дочь) ложились на Луизу Ивановну. С особой настойчивостью она воспитывала у них уважение к труду, скромность и бережливость. Эти качества Якову Петровичу были присущи всю жизнь.
В 1770 году Петр Васильевич привез своих сыновей в Петербург. Было решено определить мальчиков в Сухопутный Шляхетский кадетский корпус. Основная задача корпуса состояла в том, чтобы «доставлять малолетним, предназначенным к военной службе в офицерском звании и преимущественно сыновьям заслуженных офицеров, общее образование и соответствующее их предназначению воспитание». Петр Васильевич принадлежал к заслуженным офицерам, и прошение о зачислении Якова и Ивана «на казенный кошт» было удовлетворено.
Корпус давал довольно большой объем знаний по различным предметам и, в частности, по математике, истории, географии, словесности, по иностранным языкам, по фортификации и тактике. Кроме того, в программу обучения входили фехтование, гимнастика и танцы. Многое зависело от директора. И в этом отношении юным Кульневым повезло. Генерал-директор был И. И. Бецкий, умный, дальновидный педагог, стремившийся к тому, чтобы его воспитанники стали достойными продолжателями славных боевых традиций русской армии. «Старик», как звали между собой директора корпуса кадеты, был сух, сед, подвижен, требователен и заботлив. Лентяев и лодырей не чествовал, бездарей презирал, титулованных пасынков не выделял. Бецкий зорко следил, чтобы воспитанники «кондуиту исправного, сиречь годности всякой» были, чтобы в науках и познаниях были сильны, а «пуще готовили себя к превозможению трудов ратных». Времена Аракчеева еще не наступили, армия нуждалась не в плац-парадных балеринах с косичками, а в грамотных боевых офицерах. Победы Румянцева и Суворова возбуждали у кадет гордость за русское оружие, а личности полководцев становились примером для подражания.
Образцом для юного Кульнева всегда был Суворов. Много позже знаменитый Денис Давыдов свидетельствовал, что Кульнев «боготворил его и всегда говаривал о нем со слезами восторга». Некоторые из современников Кульнева говорили, что он ему слепо подражает. Яков Петрович писал об этом так: «Да, я подражаю великому полководцу Суворову, но у меня нет его состояния, хотя и достиг того, что меня называют учеником этого великого человека».
Учеба в корпусе продолжалась 15 лет. Для Кульнева они стали серьезной жизненной школой. В 1785 году он выпускается с большой серебряной медалью «за усердие и успехи в учебе». По свидетельству Дениса Давыдова, «Кульнев знал удовлетворительно артиллерийскую науку и основательно полевую фортификацию, теоретически и практически. Он порядочно изъяснялся на языках французском и немецком, хотя писал на обоих часто ошибочно, но познания его в истории, особенно в русской и римской, были истинно замечательны. Военный человек и еще гусар (выделено у Давыдова. —