Гильберт. Основания математики

Эту группу частных дифференциалов лапласианом назвал Джеймс Клерк Максвелл (1831-1879), хотя обозначение заглавной греческой буквой дельта восходит к трактату 1833 года.

В данных обстоятельствах ∆u = 0 — это уравнение Лапласа, или уравнение непрерывности, выражающее, что идеальный флюид, в котором нет завихрений, неразрушим. Это уравнение математически кодирует прописную истину: если флюид несжимаем, из сколь угодно малого объема в момент времени должно выйти столько же жидкости, сколько ее содержится в нем. Однако французский математик и физик Пьер-Симон Лаплас (1749-1827) обнаружил его в небесной механике, изучая гравитационный потенциал, то есть функцию, измеряющую гравитационную силу, с которой тело — какой бы формы оно ни было — притягивает внешнюю точечную частицу. В результате это уравнение Лапласа также получило название уравнения потенциала. Как уже можно догадаться, один из гениальных вкладов Гильберта в анализ был связан со строгим решением этого уравнения в частных производных.

УРАВНЕНИЕ ВОЛН И УРАВНЕНИЕ ТЕПЛА

Уравнение волн, которое описывает распространение волн звука или света, а также физических волн, производимых колеблющейся струной или мембраной, следующее:

∂²u/∂t² = c²∆u .

В свою очередь, уравнение тепла, которое регулирует распространение тепла (то, как оно движется из зон, где температура выше, в зоны, где она ниже), соответствует следующему виду:

∂u/∂t = k∆u .

Оба уравнения кажутся обманчиво похожими, за исключением того, что в первом вместо первой производной появляется вторая производная относительно времени. Эта тонкая математическая разница имеет чрезвычайное значение для физики: уравнение волн обратимо — в том смысле, что оно остается неизменным, если мы изменим направление течения времени. Математически: если мы заменим t на -t, уравнение останется прежним, поскольку при двойном дифференцировании знаки отрицания взаимно уничтожаются. Следовательно, уравнение не упорядочивает решения с течением времени, в связи с чем можно восстановить информацию о прошлом (по этой причине мы используем световые или звуковые сигналы для общения). Уравнение тепла, наоборот, необратимо (если заменить t на -t, мы не получим то же самое уравнение). Распространение тепла ориентировано темпорально, оно зависит от оси времени. Эта необратимость проявляется в том, что уравнение упорядочивает решения стечением времени, поэтому обычно невозможно восстановить информацию о прошлом (решение, соответствующее пику тепла, в итоге смягчается таким образом, что через некоторое время невозможно узнать, где и как возник взрыв или пожар, поскольку тепло распространилось по всему пространству).

ОТ ПРОБЛЕМЫ К ПРИНЦИПУ ДИРИХЛЕ

Одной из проблем уравнения Лапласа, которая не давала покоя математикам и физикам XIX века, была так называемая проблема Дирихле, названная в честь немецкого математика Петера Густава Лежёна Дирихле (1805-1859). Она состояла в том, чтобы найти гармоническую функцию в области пространства, то есть функцию u, удовлетворяющую уравнению Лапласа Δu = 0 в этой области пространства, при этом на границе области (см. рисунок 1) она принимает заданные значения (например, u = ƒ на границе). То есть если обозначить область как Ω и границу области как γ,

Δu = 0 в Ω

u = ƒ в γ

РИС. 1

В проблеме Дирихле ищут функцию и, которая принимает определенные значения на границе, и лапласиан, которой равен нулю внутри области.