Гильберт. Основания математики

Как Гильберт, так и Дирак, переформулировав обе проблемы в таком виде, перешли к их сравнению и заметили, что [1] и [2] представляют собой схожую структуру: Гамильтониан x ΧΥΖ = Энергия x ΧΥΖ. Следовательно, вопрос, которым они задались, звучал так: какие условия следует допустить, чтобы приравнять член к члену уравнения [1] матричной механики к уравнению [2] волновой механики? Так как «интегрирование» в царстве непрерывного — это аналог «сложения» в царстве дискретного (символ ∫ происходит от последовательной деформации прописной S), они решили: то, что должно заменить (при переходе от дискретного к непрерывному) первый член в [1], будет выглядеть как ∫h(х,у)ψ_n(у)d(у). Значит, объединение между обеими квантовыми механиками было бы достигнуто, если бы последнее выражение совпадало с первым членом в [2] в виде:

Ηψ_n(x) =∫h(x,у)ψ_n(у)dy,

то есть если бы любой оператор Гамильтона мог быть записан как интегральный оператор.

Но это было невозможно даже для такого простого оператора, как тождество (определяемое как Ηψ = ψ для любой волновой функции). Дирак не спасовал перед трудностями и, чтобы преодолеть их, прибегнул к функции δ. Эта своеобразная функция определена δ(z)=0 для любого z≠0[3] и, как ни парадоксально, ∫δ(z)dz= 1 [4]. Как представить себе функцию, которая равна 0 во всех точках, кроме одной, и интегрирует 1?

Итак, приняв эту функцию и рассматривая h(x,y)=δ(x-y) как ядро вышеприведенного интегрального уравнения, можно выразить тождество, например, как интегральный оператор, просто применив магические свойства δ:

                                                               _{[3]                    [4]}

Ηψ(x)=∫h(х,у)ψ(у)dy=∫δ(х-у)ψ(у)dy= ψ(x)∫δ(x-y)dy=ψ(x)·1=ψ(x).

С помощью подобных вычислений можно доказать, что любой оператор может быть представлен как интегральный оператор, так что обе квантовые механики оказываются принудительно унифицированными.

Схематическая диаграмма дельты Дирака: «функция», которая равна 0 во всех своих точках, кроме начала, где она равна бесконечности, чтобы таким образом интегрировать 1.

Для того чтобы все преобразования между представлениями квантовой механики работали корректно, Дирак был вынужден прибегнуть к использованию вымышленной математической сущности — дельта-функции, которая на самом деле функцией не была. Для физиков это стало полезной идеализацией, привести которую к строгому виду должны были математики. Для математиков, наоборот, это понятие оказалось подозрительным и не обладающим математической реальностью, его использование оправдывалось только физическими применениями. Дельта-функцию Дирака ждала печальная участь, поскольку лишь в 1950 году она нашла свое место в рамках теории распределений, созданной Лораном Шварцем (1915-2002). До этого из-за отсутствия у нее строгости она оставляла равнодушными математиков Гёттингена.