Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда

Для иллюстрации правила замены возьмем высказывание «Либо туча зависла над горой, либо лунный луч проникает сквозь волны озера» — фраза, которую мог бы произнести дзен-буддистский мастер, пытаясь мысленно увидеть любимое озеро. Теперь держитесь крепче: правило замены утверждает, что это высказывание может быть заменено на мысль «Если туча не зависла над горой, то лунный луч проникает сквозь волны озера.» Это, может быть, и не Просветление, но это большее, что исчисление высказываний может нам предложить.

Игра с системой

Теперь давайте приложим эти правила к одной из предыдущих теорем и посмотрим, что у нас выйдет. Возьмем, к примеру, теорему <P э ~~P>:

<P э ~~P> старая теорема

<~~~P э ~P> контрапозиция

<~P э ~P> двойная тильда

<P V ~P> замена

Новая теорема в интерпретации утверждает, что:

Либо этот разум Будда, либо этот разум не Будда.

Интерпретированная теорема снова оказалось истинным (хотя, может быть, и не таким уж удивительным) высказыванием.

Частичная интерпретация

Читая вслух теоремы исчисления высказываний, кажется естественным интерпретировать все, кроме атомов. Я называю это частичной интерпретацией. Например, частичной интерпретацией<P V ~ P>  было бы:

P или не P

Хотя P здесь и не высказывание, приведенное полувысказывание все же звучит как истинное, поскольку мы можем легко вообразить на месте P любое предложение — и форма этой частичной интерпретации уверяет нас, что, независимо от нашего выбора, результатом будет истинное высказывание. Именно это — центральная идея исчисления высказываний: оно производит теоремы, которые, будучи частично интерпретированными, производят «универсально истинные полувысказывания». Независимо от того, как мы дополним интерпретацию, у нас получатся истинные суждения.

Топор Ганто

Теперь мы можем проделать более сложное упражнение, основанное на дзен-буддистстком коане под названием «Топор Ганто». Вот его начало:

Однажды Токусан сказал своему ученику Ганто «В нашем монастыре есть два монаха, которые прожили здесь много лет. Иди и проверь их». Ганто взял топор и пошел в хижину, где монахи занимались медитацией. Он поднял топор со словами. «Если вы скажете хоть одно слово, я отрублю вам головы; и если вы не скажете ни слова, я все равно отрублю вам головы».[13]

Если вы скажете хоть одно слово, я прерву этот коан; и если вы не скажете ни слова, я все равно прерву этот коан — поскольку хочу перевести его в нашу нотацию. Пусть «вы скажете слово» будет P, а «я отрублю вам головы» — Q. Тогда угроза Ганто записывается как <<P э Q>Λ<~P э Q>>. Что, если бы эта угроза являлась бы аксиомой? Ответом на этот вопрос служит следующая фантазия:

  (1) [ проталкивание

  (2)   <<P э Q>Λ<~P э Q>> аксиома Ганто

  (3)   <P э Q> разделение

  (4)   <~Q э ~P> контрапозиция

  (5)   <~P э ~Q> разделение

  (6)   <~Q э ~~P> контрапозиция

  (7)   [ снова проталкивание

  (8)     ~Q посылка

  (9)     <~Q э ~P> перенос строки 4

(10)     ~P отделение

(11)     <~Q э ~~P> перенос строки 6

(12)     ~~P отделение (строки 8 и 11)

(13)     <~P Λ ~~P> объединение

(14)     ~<P V ~P> Де Морган

(15)   ] выталкивание

(16)   <~Q э ~<P V~P>> правило фантазии

(17)   <<P V ~P> э Q> контрапозиция

(18)   [ проталкивание

(19)     ~P посылка (и результат!)

(20)   ] выталкивание

(21)   <~Р э ~Р> правило фантазии

(22)   <P V ~P> правило замены

(23)   Q отделение (строки 22 и 17)

(24) ] выталкивание

Этот пример показывает, насколько мощно исчисление высказываний. Всего лишь за 24 шага мы логически вывели, что Q — иными словами, головы будут отрублены! (Зловещая примета: последнее использованное нами правило было правилом «отделения»…) Теперь, скажете вы, нет смысла продолжать коан, так как исход уже известен. Однако я передумал и не буду его прерывать — в конце концов, это настоящий дзен-коан! Итак, вот конец этого рассказа:

Оба монаха продолжали медитировать как ни в чем не бывало, словно они ничего не слышали. Тогда Ганто опустил топор и воскликнул: «Вы — настоящие дзен-буддисты!» Затем он вернулся к Токусану и рассказал о случившемся. «Я понимаю вашу идею», — сказал тот, — «но скажите мне, какова их идея?» «Тозан мог бы принять их в ученики, — ответил Ганто, — но они не должны быть приняты в ученики Токусаном».[14]

Понимаете ли вы мою идею? А как насчет идеи дзена?