Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда

Единственные символы, которые мы еще не интерпретировали, это атомы. У них нет единственной интерпретации — их можно интерпретировать, как любое высказывание русского языка (если атом встречается несколько раз в одной и той же деривации, он должен быть интерпретирован всегда одинаково). Таким образом, например, правильно сформированная строчка <P Λ ~P> может быть интерпретирована следующим образом:

Этот разум — Будда, и этот разум — не Будда.

Давайте теперь вернемся к теоремам, которые мы вывели до сих пор, и постараемся их интерпретировать. Первая теорема была <P э ~~P>. Если интерпретировать P всегда одинаково, то мы получим следующее высказывание:

Если этот разум — Будда, то неверно, что этот разум — не Будда.

Обратите внимание, как я сформулировал двойное отрицание. В любом натуральном языке неловко повторять отрицание два раза — мы обходим это препятствие, выражая отрицание по-разному. Вторая наша теорема была <<P Λ Q>э<Q Λ P>>. Пусть Q — высказывание «Этот огурец весит полкило»; тогда наша теорема читается как:

Если этот разум — Будда и этот огурец весит полкило, то этот огурец весит полкило и этот разум — Будда.

Третьей теоремой была <P э<Q э<P Λ Q>>>. Она разворачивается в структуру «если … то» с вложением:

Если этот разум — Будда то, если этот огурец весит полкило, то этот разум — Будда и этот огурец весит полкило.

Вы вероятно, заметили, что каждая теорема, будучи интерпретированной, выражает что-либо совершенно тривиальное и самоочевидное. (Иногда теоремы бывают настолько самоочевидными, что кажутся бессмысленными — и даже, как это ни парадоксально, ложными!) Может быть, это вас не впечатляет; но вспомните, сколько ложных высказываний, кишмя кишащих кругом, мы могли бы вывести — но не вывели. Система исчисления высказываний аккуратно ступает от истины к истины, осторожно избегая всех ложных высказываний, подобно человеку, который, переходя ручей и желая остаться сухим, осторожно ступает с камня на камень, следуя выложенной «тропинке», как бы извилиста она не была. Удивительно то, что в исчислении высказываний все делается исключительно типографским путем. «Внутри» системы нет никого, кто бы думал о значении строчек. Здесь все делается строго механически и бездумно.

Полный список правил

Мы еще не привели всех правил исчисления высказываний. Их полный список, включая три новые правила, приведен ниже.

ПРАВИЛО ОБЪЕДИНЕНИЯ: Если x и у — теоремы системы, то строчка <x Λ y> — также теорема.

ПРАВИЛО РАЗДЕЛЕНИЯ: Если <x Λ y> — теорема, то и x и у — также теоремы.

ПРАВИЛО ДВОЙНОЙ ТИЛЬДЫ: Строчка «~~» может быть выброшена из любой теоремы. Она также может быть вставлена в любую теорему, если при этом получается правильно сформированная строчка.

ПРАВИЛО ФАНТАЗИИ: Если, принимая x за теорему, можно вывести у, то <x э y> является теоремой.

ПРАВИЛО ПЕРЕНОСА: В фантазию можно внести любую теорему из «реальности» одним уровнем выше и использовать ее там.

ПРАВИЛО ОТДЕЛЕНИЯ: Если x и <x э y> — теоремы, то у — также теорема.

ПРАВИЛО КОНТРАПОЗИЦИИ: <x э y> и  <~y э ~x> взаимозаменяемы.

ПРАВИЛО ДЕ МОРГАНА: <~x Λ ~y> и ~<x V y> взаимозаменяемы.

ПРАВИЛО ЗАМЕНЫ: <x V y> и <~x э y> взаимозаменяемы.

Под «взаимозаменяемостью» здесь понимается следующее: если одно из двух выражений встречается в виде теоремы или части теоремы, оно может быть заменено на второе, и результат также будет теоремой.

Объяснение правил

Прежде чем рассматривать эти правила в действии, я хочу их коротко пояснить. Вы, вероятно, можете придумать примеры получше; поэтому я ограничусь только несколькими.

Правило контрапозиции показывает то, каким образом мы перевертываем условные предложения (обычно мы делаем это бессознательно). Например, буддистское изречение о Тропе — дороге к Мудрости:

Если вы изучаете ее, то вы далеко от Тропы,

означает то же самое, что

Если вы близко к Тропе, то вы ее не изучаете.

Правило Де Моргана может быть проиллюстрировано на примере хорошо знакомого нам высказывания «Флаг не движется и ветер не движется». Если P означает «флаг движется» и Q — «ветер движется», то комбинированное высказывание будет <~P Λ ~Q>, которое, согласно правилу Де Моргана, может быть заменено на ~<P V Q>: «Неверно, что флаг или ветер движутся». Никто не станет оспаривать, что это весьма осмысленное дзен-ключение…