Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда

Давайте попробуем перевести теперь высказывание 4: «Сумма двух положительных кубов сама не является кубом». Предположим, что мы хотим сказать, что 7 не является суммой двух положительных кубов. Легче всего сделать это, отрицая формулу, утверждающую обратное. Эта формула будет почти как предыдущая, касавшаяся 1729, только теперь нам надо добавить, что кубы должны быть положительными. Мы можем сделать это при помощи следующего трюка: добавим к каждой переменной префикс S:

Eb:Ec:SSSSSSS0=(((Sb*Sb)*Sb)+((Sc*Sc)*Sc))

Как видите, мы возводим в куб не сами b и c, а следующие за ними числа, которые должны быть положительными, поскольку минимальная величина b и c — 0. Таким образом, правая сторона представляет сумму двух положительных кубов. Кстати, обратите внимание, что перевод высказывания «существуют числа b и c, такие, что…» не включает символа «Λ», заменяющего «и». Этот символ используется для соединения целых правильно сформированных строчек, а не для соединения двух кванторов.

Итак, мы перевели высказывание «7 — сумма двух положительных кубов»; теперь нам нужно записать его отрицание. Для этого мы должны только поставить тильду слева от него. (Заметьте, что не требуется отрицать каждый квантор в отдельности, хотя нам и надо получить высказывание «Не существует чисел b и c, таких, что…») Таким образом, мы получим:

~Eb:Ec:SSSSSSS0=(((Sb*Sb)*Sb)+((Sc*Sc)*Sc))

Однако нашей первоначальной целью было выразить свойства всех чисел, а не только 7. Для этого давайте заменим символ числа SSSSSSSO строчкой ((а*а)*а), являющейся переводом «а в кубе».

~Eb:Ec:((a*a)*a)=(((Sb*Sb)*Sb)+((Sc*Sc)*Sc))

Ha этом этапе у нас имеется открытая формула, так как а все еще свободно. Эта формула выражает свойство, которым может обладать или не обладать а — однако мы хотим сказать, что все числа обладают этим свойством. Это просто — надо только добавить к имеющейся у нас формуле квантор общности:

Aa:~Eb:Ec:((a*a)*a)=(((Sb*Sb)*Sb)+((Sc*Sc)*Sc))

Таким же правильным переводом было бы:

~Eа:Eb:Eс:((а*a)*a)=(((Sb*Sb)*Sb)+((Sc*Sc)*Sc))

В строгом ТТЧ мы могли бы использовать a' вместо b и a'' вместо c; таким образом, формула приобрела бы вид:

~Ea:Ea':Ea'':((a*a)*a)=(((Sa'*Sa')*Sa')+((Sa''*Sa'')*Sa''))

Как насчет высказывания 1: «5 — простое число»? Мы перефразировали его следующим образом: «Не существует чисел a и b больших 1, таких, что 5 равнялось бы a умноженному на b.» Теперь мы можем это немного изменить: «Не существует чисел а и b таких, что 5 равнялось бы а плюс 2 умноженному на b плюс 2.» Это еще один трюк- поскольку а и b здесь — натуральные числа, эта формулировка кажется более адекватной. Далее, «b+2» может быть переведено как (b+SS0), но есть и более короткий способ записать то же самое: SSb. Точно так же, «c плюс 2» может быть записано как SSc. Теперь наш перевод становится совсем коротким:

~Eb:Ec:SSSSS0=(SSb*SSc)

Без тильды в начале это было бы утверждением того, что существуют два натуральных числа, которые, если их увеличить на два, дают при умножении 5. Тильда в начале это отрицает; таким образом, мы получаем утверждение того, что 5 — простое число.

Если бы вместо 5 мы хотели бы сказать то же самое про d плюс e плюс 1, самым экономным способом было бы заменить символ числа 5 на строчку (d+Se):

~Eb:Ec:(d+Se)=(SSb*SSc)

Мы снова получили открытую формулу; ее интерпретация — не истина и не ложь, а лишь некое утверждение о каких-то двух числах d и e. Обратите внимание, что число, выраженное строчкой (d+Se), больше d, так как мы добавили к d хотя и неопределенную, но положительную величину. Таким образом, если мы добавим к переменной e квантор существования, мы получим формулу, утверждающую, что

Существует некое простое число, большее d.

Ee:~Eb:Ec:(d+Se)=(SSb*SSc)

Осталось только добавить, что это свойство верно всегда, вне зависимости от d. Для этого мы должны добавить квантор общности для d:

Ad:Ee:~Eb:Ec:(d+Se)=(SSb*SSc)

Перед нами — перевод высказывания 5!

Несколько задачек на перевод

Мы завершили упражнение на перевод шести типичных высказываний теории чисел. Однако это еще не гарантирует, что вы стали экспертом в нотации ТТЧ. Остается усвоить несколько тонкостей. Следующие шесть правильно сформированных формул послужат проверкой того, насколько вы овладели нотацией ТТЧ. Что эти формулы означают? Является ли их интерпретация истинными или ложными высказываниями? (Подсказка читателю: при работе с этим упражнением лучше всего двигаться справа налево. Сначала переведите атомы; затем подумайте, что получится, если добавить квантор или тильду; затем, двигаясь налево, добавьте еще один квантор или тильду; снова продвиньтесь налево и опять повторите этот процесс.)

~Ac:Eb:(SS0*b)=c

Ac:~Eb:(SS0*b)=c

Ac:Eb:~(SS0*b)=c

~Eb:Ac:(SS0*b)=c

Eb:~Ac:(SS0*b)=c

Eb:Ac:~(SS0*b)=c

(Еще одна подсказка, либо четыре из них истинны и два ложны, либо, наоборот, два истинны и четыре ложны.)

Как отличить истинное от ложного?