Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда

Здесь мы сталкиваемся со случаем такого полного отождествления сообщения со значением, что мы с трудом можем вообразить, что данные символы могут иметь какое-то иное значение. Мы настолько привыкли считать, что символы ТТЧ придают строчкам этой системы теоретико-числовое значение (и только теоретико-числовое), что нам бывает трудно представить, что некоторые строчки ТТЧ могут быть интерпретированы, как высказывания о системе MIU. Однако Гёделев изоморфизм заставляет нас признать этот второй уровень значения у некоторых строчек ТТЧ.

МУМОН, декодированный в более знакомом нам виде, сообщает, что

30 — число МIU.

Это высказывание теории чисел, полученное при интерпретации каждого знака обычным путем.

Открыв Гёделеву нумерацию и построенный на ее основе изоморфизм, мы в каком-то смысле расшифровали код, на котором высказывания о системе MIU записаны при помощи строчек ТТЧ. Гёделев изоморфизм — это новый обнаружитель информации, в том же смысле, как дешифровки старинных текстов были обнаружителями заложенной в этих текстах информации.

Декодированное этим новым и менее знакомым нам способом, МУМОН сообщает, что

MU — теорема системы MIU.

Мораль этой истории мы уже слышали: любой узнанный нами изоморфизм автоматически порождает значение; следовательно, у МУМОНа есть по крайней мере два пассивных значения, а может быть, и больше!

Бумеранг — Гёделева нумерация ТТЧ

Разумеется, это еще не конец; мы только начали открывать возможности Гёделева изоморфизма. Естественным трюком было бы использовать возможность ТТЧ отображать другие формальные системы на себя саму, на манер того, как Черепаха повернула патефоны Краба против их самих, или как Бокал Г атаковал сам себя, разбившись. Чтобы это сделать, мы должны приложить Гёделеву нумерацию к самой ТТЧ, так же, как мы это сделали с системой MIU, и затем «арифметизировать» правила вывода. Это совсем нетрудно. Например, мы можем установить следующее соответствие:

 Символ    Кодон   Мнемоническое обоснование

0 .......   666       Число Зверя для Таинственного Нуля

S .......   123       последовательность: 1, 2, З…

= .......   111       зрительное сходство, в повернутом виде + ....... 112  1+1=2

* .......   236        2*3=6

( .......   362        кончается на 2 \

) .......   323        кончается на 3  |   эти

< .......   212       кончается на 2  |   три пары

> .......   213       кончается на 3  |   формируют

[ .......   312        кончается на 2  |   схему

] .......   313        кончается на 3 /

а .......   262       противоположно A (626)

' .......    163       163-простое число

Λ ......    161       «Λ»-«график» последовательности 1-6-1"

V ......    616       «V»-«график» последовательности 6-1-6

э ......    633       в некотором роде, из 6 следуют 3 и 3

~ .......   223       2+2 не 3

E .......   333       «E» выглядит как «3»

A .......   626       противоположно «A»- также «график» 6-2-6

: .......   636        две точки, две шестерки

пунк ....  611       особенное число (именно потому, что в нем нет ничего особенного)

Каждый символ ТТЧ соотнесен с трехзначным числом, составленным из цифр 1, 2, 3 и 6 таким образом, чтобы его было легче запомнить. Каждое такое трехзначное число я буду называть Геделев кодоном, или, для краткости, кодоном. Заметьте, что для b. с, d или е кодонов не дано, поскольку мы используем здесь строгую версию ТТЧ. Для этого есть причина, которую вы узнаете в главе XVI. Последняя строчка, «пунктуация», будет объяснена в главе XIV.

Теперь мы можем представить любую строчку или правило ТТЧ в новом наряде. Вот, например, Аксиома 1 в двух нотациях, новая над старой:

 626, 262, 636, 223, 123, 262, 111, 666

. A      a      :      ~     S     a     =      0

Обычная условность — использование пунктуации после каждых трех цифр — очень кстати совпала с нашими кодонами, облегчая их чтение.

Вот Правило Отделения в новой записи:

ПРАВИЛО: Если x и 212x633y213 являются теоремами, то у - также теорема.

Наконец, вот целая деривация, взятая из предыдущей главы; она дана в строгой версии ТТЧ и записана в новой нотации:

626,262,636,626.262,163,636,362,262,112,123,262,163,323,111,123,362,262,112,262,163,323 аксиома 3

. A    a     :     A     a     '     :     (     a    +     S    a     '     )   =    S    (     a     +    a      '    )

626,262,163,636,362,123,666,112,123,262,163,323,111,123,362,123,666,112,262,163,323 спецификация

. A    a     '     :     (     S    0     +    S    a     '      )    =    S     (     S    0     +    a     '     )

362,123,666,112,123,666,323,111,123,362,123,666,112,666,323 спецификация

. (     S    0     +    S    0      )    =    S     (     S    0    +     0    )

626,262,636,362,262,112,666,323.111.262 аксиома 2

.  A    а    :     (     а    +    0     )     =    а

362,123,666,112,666,323,111,123,666  спецификация

. (     S     0    +    0     )     =    S    0

123,362,123,666.112,666,323,111,123,123,666  добавить «123»

.  S   (      S    0     +    0    )     =     S    S    0