Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда

Однако прежде чем придти к заключению, давайте рассмотрим подробнее этот высший уровень изоморфизма. Это очень хорошее упражнение. Наша цель — придумать арифметические правила, действующие точно так же, как типографские правила системы MIU.

Ниже приведено решение. В этих правилах m и k - произвольные натуральные числа, и n — любое натуральное число, меньшее 10m.

ПРАВИЛО 1: Если мы получили 10m + 1, то мы можем получить 10 * (10m + 1).

Пример: Переход от строчки 4 к строчке 5. Здесь m = 30

ПРАВИЛО 2: Если мы получили 3 * 10^m + n, то мы можем получить 10^m * (3 * 10^m + n) + n

Пример: Переход от строчки 1 к строчке 2, где n и m равняются 2.

ПРАВИЛО 3: Если мы получили k *10^m+3 + 111 * 10^m + n, то мы можем получить k * 10 ^m+1 + n.

Пример: Переход от строчки 3 к строчке 4. Здесь m и n равняются 1 и k равняется 3.

ПРАВИЛО 4: Если мы получили k * 10^m +2 + n, то мы можем получить k * 10 ^m + n.

Пример: Переход от строчки 6 к строчке 7. Здесь m=2, n=10 и k=301.

Не следует забывать нашу аксиому! Без нее мы как без рук, так что давайте запишем постулат.

Мы можем получить 31.

Теперь правую колонку можно рассматривать как арифметический процесс в новой арифметической системе, которую мы назовем системой 310:

(1)         31       аксиома

(2)        311       правило 2 (m = 1, n = 1)

(3)      31111       правило 2 (m = 2, n = 11)

(4)        301       правило 3 (m = 1, n = 1, k = 3)

(5)       3010       правило 1 (m = 30)

(6)    3010010       правило 2 (m = 3, n = 10)

(7)      30110       правило 4 (m = 2, n = 10, k = 301)

Обратите внимание на то, что удлиняющие и укорачивающие правила снова с нами и в системе 301; они просто переведены в область чисел таким образом, что Гёделевы номера в системе возрастают и уменьшаются. Если вы посмотрите внимательно на то, что происходит, то увидите, что правила основаны на простой идее, а именно: сдвиг цифр направо и налево в десятичной записи чисел имеет отношение к умножению на степени числа 10. Это простое наблюдение обобщено в следующем центральном предложении:

ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ: Если у нас имеется некоторое правило, говорящее нам, как определенные цифры могут быть передвинуты, заменены, добавлены или опущены в в десятичной записи любого числа, то это правило также может быть представлено соответствующим арифметическим правилом при помощи арифметических операций со степенями числа 10, а также сложения, вычитания и так далее.

Или короче:

Типографские правила манипуляции с символами чисел эквивалентны арифметическим правилам операций с числами.

Это простое наблюдение находится в самом сердце Гёделева метода; оно будет иметь совершенно потрясающий эффект. Оно говорит нам, что если у нас есть Гёделева нумерация для любой формальной системы, мы можем тут же получить набор арифметических правил, дополняющих Гёделев изоморфизм. В результате оказывается возможным перевести изучение любой формальной системы — на самом деле, всех формальных систем — в область теории чисел.

Числа, выводимые в MIU

Подобно тому, как набор типографских правил порождает набор теорем, в результате повторного применения арифметических правил получается соответствующее множество натуральных чисел. Эти выводимые числа играют ту же роль в теории чисел, как теоремы — в любой формальной системе. Разумеется, набор выводимых чисел изменяется в зависимости от принятых правил. «Выводимые числа» выводимы только относительно данной системы арифметических правил. Например, такие числа как 31, 3010010, 31111 и так далее могут быть названы выводимыми в системе MIU. Это неуклюжее название можно сократить до чисел MIU; оно символизирует тот факт, что эти числа — результат перевода системы MIU в теорию чисел при помощи Гёделевой нумерации. Если бы мы захотели приложить Гёделеву нумерацию к системе pr и затем «арифметизировать» ее правила, мы могли бы называть полученные числа «числами pr» — и так далее.

Заметьте, что выводимые числа (в любой данной системе) определяются рекурсивным методом: нам даны числа, о которых мы знаем, что они выводимы, и набор правил, объясняющих, как получить другие выводимые числа. Таким образом, класс выводимых чисел постоянно расширяется, подобно списку чисел Фибоначчи или чисел Q. Множество выводимых чисел любой системы — это рекурсивно счетное множество. А как насчет его дополнения — множества невыводимых чисел? Имеют ли они какую-либо общую арифметическую черту?