Голая статистика. Самая интересная книга о самой скучной науке

Использование регресии для анализа нелинейной связи[67]. Приходилось ли вам читать предостережение, которое обычно наносится на корпус фена для волос: «Не пользоваться во время мытья в ванне»? Читая эти слова, вы, наверное, думали: «Какой болван может до такого додуматься?» Ведь это электроприбор, им нельзя пользоваться в воде. Электроприборы для этого не предназначены. Если бы регрессионный анализ снабжался подобным предостережением, то оно должно было бы гласить: «Не пользоваться, когда между анализируемыми переменными существуют нелинейные зависимости». Запомните: коэффициент регрессии описывает степень наклона «линии наилучшего приближения» для рассматриваемых вами данных; непрямая линия будет характеризоваться разными степенями наклона в разных точках. Рассмотрим, например, следующую гипотетическую связь между числом уроков игры в гольф, которые я беру в течение месяца (объясняющая переменная), и моим средним результатом для восемнадцатилункового раунда за тот же месяц (зависимая переменная). Как нетрудно заметить из приведенной ниже диаграммы разброса данных, в этом случае отсутствует устойчивая линейная зависимость.

Итак, мы видим некую картину, которую невозможно описать с помощью одной прямой линии. Первые несколько уроков игры в гольф, похоже, привели к быстрому улучшению моих показателей (количество очков уменьшилось – в гольфе это считается положительным результатом). На этом отрезке времени наблюдается отрицательная зависимость между уроками и набранным мною количеством очков; наклон линии отрицательный. Чем больше уроков, тем меньше очков.

Но когда я начинаю тратить на уроки игры в гольф от 200 до 300 долларов в месяц, это, по-видимому, не оказывает на мои результаты вообще никакого влияния. На данном отрезке времени не наблюдается какой-либо четкой взаимосвязи между дополнительными уроками и моими результатами; наклон линии – нулевой.

Наконец наступает момент, когда уроки становятся контрпродуктивными. Если сумма, потраченная на уроки игры в гольф, достигает 300 долларов в месяц, дополнительные уроки ассоциируются с большим количеством набранных мною очков; на этом отрезке времени наблюдается положительный наклон линии. (Ниже в этой главе мы обсудим вероятность того, что плохие результаты игры в гольф могут стимулировать брать дополнительные уроки, а не наоборот.)

Самое важное здесь то, что с помощью единственного коэффициента регрессии мы не можем точно выразить зависимость между уроками и результатами. Наилучшей интерпретацией описанной выше картины будет то, что уроки игры в гольф характеризуются несколькими линейными связями с моими результатами. Вы можете видеть это, а пакет статистического программного обеспечения – нет. Если вы введете эти данные в уравнение регрессии, то компьютер выдаст вам единственный коэффициент. И он не будет точно отражать истинную взаимосвязь между интересующими нас переменными. Полученные результаты будут представлять собой статистический эквивалент использования фена для волос во время принятия ванны.

Регрессионный анализ предназначен для использования в случае линейной зависимости между переменными[68]. В солидных учебниках по статистике указаны также другие базовые условия его применения. Как и при использовании любого другого инструмента, чем больше вы отклоняетесь от заранее оговоренных условий его применения, тем менее эффективным – и даже потенциально опасным – он становится.

Корреляция и причинно-следственные зависимости – не одно и то же. Регрессионный анализ может лишь продемонстрировать взаимосвязь между двумя переменными. Как я уже упоминал, с помощью только статистики невозможно доказать, что изменение одной переменной обусловило изменение другой переменной. Вообще говоря, неправильное уравнение регрессии может указать на существование внушительной и статистически значимой зависимости между двумя переменными, которые в действительности между собой никак не связаны. Допустим, мы планируем выявить потенциальные причины роста числа случаев аутизма в Соединенных Штатах за последние два десятилетия. Наша зависимая переменная – исход, который мы хотели бы объяснить, – могла бы служить показателем заболеваемости аутизмом, таким как количество диагностированных случаев на каждых 1000 детей определенного возраста. Если бы мы включили в качестве объясняющей переменной годовой доход на душу населения в Китае, то почти наверняка выявили бы положительную и статистически значимую зависимость между повышением доходов в Китае и ростом заболеваемости аутизмом в США за последние два десятилетия.