Голая статистика. Самая интересная книга о самой скучной науке

Стоит также упомянуть еще об одном различии. При оценивании экономического благосостояния мы можем анализировать доход или заработную плату. Это не одно и то же. Заработная плата – это то, что нам платят за некое фиксированное количество труда (например, она может быть почасовой или понедельной). Доход представляет собой сумму всех платежей из разных источников. Если у работника есть вторая работа или он отработал большее количество часов, его доход может увеличиться, тогда как заработная плата останется прежней. (Именно поэтому доход может расти даже в случае, когда заработная плата снижается, – при условии, что работник трудится дольше.) Если, однако, работнику приходится больше работать, чтобы больше получать, то оценить, как это скажется на его благосостоянии, довольно сложно. Заработная плата является менее неоднозначным показателем того, как оплачивается труд американцев; чем она выше, тем больше человек получает за каждый час, проведенный на работе.

В дополнение к вышесказанному я привожу график заработной платы американцев за последние три десятилетия. Я также добавил 90-й процентиль, чтобы проиллюстрировать изменения заработной платы работников, относящихся к среднему классу, в сравнении (за тот же период времени) с заработной платой работников, находящихся на вершине этого распределения.

Источник: Changes in the Distribution of Workers’ Hourly Wages between 1979 and 2009, Congressional Budget Office, 16 февраля 2011 года. Данные для этой диаграммы можно найти на сайте https://www.cbo.gov/sites/default/files/112th-congress-2011-2012/reports/02-16-wagedispersion.pdf

На основе этих данных можно сделать немало выводов. Они не позволяют получить единственный «правильный» ответ на вопрос о том, в какую сторону изменяется экономическое благополучие американского среднего класса, зато четко показывают, что типичный американский рабочий, получающий медианную заработную плату, на протяжении почти тридцати лет «топчется на месте». Работники в 90-м процентиле добились за это время гораздо больших успехов. Описательные статистики помогают очертить проблему. Какие именно действия мы предпримем в ответ на это (если вообще предпримем) – вопрос сугубо идеологический и политический.

* * *

Приложение к главе 2

Данные для графического отображения дефектов принтера

Формула для дисперсии и среднеквадратического отклонения

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение – самые распространенные статистические механизмы для измерения и описания разброса того или иного распределения. Дисперсия, которая часто обозначается символом σ2, вычисляется путем определения, насколько далеко от среднего значения расположены наблюдения в рамках того или иного распределения. Однако фишка в данном случае состоит в том, что расстояние (разница) между каждым наблюдением и средним значением возводится в квадрат; сумма таких составляющих, возведенных в квадрат, затем делится на количество наблюдений.

А именно:

Для любой совокупности из n наблюдений x₁, x₂, x₃ … x_n со средним значением μ

Дисперсия = σ² = [(x₁ –μ)² + (x₂ – μ)² + (x₃ – μ)² + … (x_n – μ)²] / n

Поскольку разница между каждым членом и средним значением возводится в квадрат, формула для вычисления дисперсии присваивает определенный вес наблюдениям, которые расположены вдали от среднего значения (то есть «отщепенцам»), как показано в приведенной ниже таблице роста учащихся.

* Абсолютное значение – это расстояние между двумя числами, независимо от знака разности между ними, то есть это значение всегда положительное. В данном случае оно представляет собой разницу в дюймах между ростом конкретного человека и средним значением.

Средний рост обеих групп учащихся составляет 70 дюймов. Суммы абсолютных отклонений от среднего значения в обеих группах также одинаковы – 14 дюймов. По этому показателю разброса указанные два распределения идентичны. Однако дисперсия для группы 2 оказалась выше из-за веса, присвоенного в формуле дисперсии значениям, которые расположены особенно далеко от среднего значения (в нашем случае эти значения относятся к Сахар и Нарцисо).

Дисперсия сама по себе редко используется в качестве описательной статистики. В наибольшей степени она полезна как один из шагов в направлении вычисления среднеквадратического (стандартного) отклонения интересующего нас распределения, которое, как описательная статистика, является более интуитивно понятным инструментом.

Среднеквадратическое отклонение для совокупности наблюдений представляет собой корень квадратный из дисперсии: