Греческая философия

Предположим, что существует объект X. Тогда X должен иметь определенную величину (тезис, предварительно доказанный Зеноном в качестве леммы) и, следовательно, необходимо, чтобы он имел "выступающую" часть - часть, "внеположную" другой части X. Назовем выступающую часть У, не выступающую часть - X*. Тогда часть У, поскольку она существует, должна иметь определенную величину, обладать выступающей частью Ζ и не выступающей частью У*. Этот процесс деления на части никогда не прекратится. "Таким образом, - заключает Зенон, - необходимо, чтобы X был бесконечным". Почему? Здесь в доказательстве пробел. Вероятно, Зенон предположил, что получена бесконечная последовательность объектов, X*, У*, Ζ*... и что все эти объекты - части X. Будучи составленным из бесконечного множества частей, X, следовательно, и сам должен быть бесконечным. Ведь X равновелик сумме своих частей, а сумма бесконечной последовательности объектов, из которых каждый обладает определенной величиной, может быть только бесконечной.

Часто высказывалось суждение, что Зенон совершает довольно банальную ошибку - ошибку, полностью исправленную математикой. А именно, Зенон предполагает, что сумма всякой бесконечной последовательности должна быть бесконечной, тогда как математики доказали, что есть такие бесконечные последовательности, сумма которых конечна, - к ним относится и последовательность, построенная Зеноном. Поскольку X* составляет половину X, У* - половину У.., мы можем изобразить Зенонову последовательность так:

1/2 ,1/4, ⅛...

Сегодня известно, что сумма этой сходящейся последовательности в точности равна единице: парадокс Зенона теряет свой блеск.

Однако если аргумент Зенона неоснователен, то и традиционная критика, только что мною представленная, в свою очередь, ошибочна. Прежде всего, Зенон не опирается на последовательность типа

1/2 ,1/4, ⅛...

Хотя один из аргументов Зенона против движения получил название "Дихотомия", что означает последовательное деление на два, в приведенном выше тексте ничто не обязывает нас к такой интерпретации. Зенон говорит, что всегда должна быть выступающая часть, но он не говорит, что эта часть равна половине целого. Конечно, можно представить образуемые части X в виде последовательности

1/n, 1/m, 1/k...

Но не очевидно, что любая последовательность этого типа, которую мог бы породить описываемый у Зенона процесс, дает в сумме единицу.

Второе критическое замечание относительно традиционного решения парадокса гораздо острее. Математика не разрешила парадокс Зенона, потому что парадокс этот - не математический. Суть парадокса в действительности составляет проблема: как получить сумму бесконечной последовательности? что значит "получить сумму" такой последовательности? Мы усваиваем понятие сложения исходя из конечных последовательностей: 1 + 3 = 4; 2 + 5 + n = 18... Но усвоенное таким образом понятие нельзя автоматически применять к бесконечным последовательностям. Чтобы возразить на довод Зенона, мы должны придать более строгий смысл понятию бесконечного, томившему трезвые умы. Надо подвергнуть анализу понятие бесконечного, чтобы объяснить, как можно осуществлять такое действие, как сложение, в отношении бесконечной последовательности объектов. Это - задачи философские; всякую математическую констатацию должны подтверждать заключения философии. Простое заявление, что сумма сходящейся последовательности равна единице, никоим образом не опровергает аргумент Зенона.

Перейдем теперь к знаменитым аргументам Зенона против движения. По Аристотелю, их было четыре. Первый, которым я здесь и ограничусь, изложен у Аристотеля в одной фразе:

"Первый - о невозможности движения, так как перемещающееся <тело> прежде должно дойти до половины, нежели до конца" (Аристотель. Физика, 239 b 10-12; DK 29 А 25[2]).

Итак, предположим, что объект X движется из А в В. Прежде чем достичь В, X должен достичь а₁ - точки, находящейся посредине между А и В. Затем - лаконичное изложение Аристотеля надо, конечно, дополнить - X должен достичь a₂, точки, находящейся посредине между а₁ и В, прежде чем он достигнет В. И, далее, а₃, а₄, прежде чем достичь В...

Отсюда - проблема. Разумеется, и здесь тоже речь идет о бесконечности, так как срединные точки, находящиеся между А и В, образуют бесконечную последовательность пунктов, которые X должен пройти один за другим, прежде чем он достигнет В.

Суть аргумента можно сформулировать так:

1) Чтобы достичь В - чтобы двигаться, - X должен поочередно выполнить бесконечное число различных задач (он должен достичь а₁, затем a₂ и т. д.).

2) Невозможно поочередно выполнить бесконечное число различных задач.

3) Следовательно, X никогда не достигнет точки В и ничто не движется.