Гела Бежуашвили родился в 1967 году в Грузии, в поселке Манглиси. В 1991 году закончил факультет международного права Киевского института международных отношений. С 1991 по 1993 год Бежуашвили работал на различных должностях в международно-правовом управлении Министерства иностранных дел Грузии. В 1993–1996 был чрезвычайным и полномочным посланником Грузии в республике Казахстан. В 1997 году окончил школу права Университета штата Техас (США), где ему была присвоена академическая степень магистра. В 1997–1999 годах Бежуашвили руководил рабочей группой Министерства иностранных дел Грузии по вопросам вступления Грузии в члены Совета Европы. В 1998–2000 годах активно сотрудничал с европейскими структурами. Являлся экспертом ряда комитетов Совета Европы, в частности — комитета по вопросам международного права и комитета по защите национальных меньшинств. С 2000 года Бежуашвили, параллельно с основной работой, вел научную деятельность по вопросам международного права. В 1997–2000 гг. занимал должность директора департамента международного права МИД Грузии. В 2003 году обучался в Школе государственных служащих имени Кеннеди Гарвардского университета (США). В разное время проходил специальные курсы по вопросам права и государственного управления в университетах Европы и США. Кроме того, по некоторым данным, в 2000–2002 годах Бежуашвили проходил обучение в одном из военных училищ США.
В 2000–2004 годах Бежуашвили занимал пост заместителя министра обороны Грузии, а с февраля 2004 года по июнь того же года — министра обороны. В июне 2004 года стал секретарем Совета национальной безопасности. 19 октября 2005 года Бежуашвили был назначен министром иностранных дел Грузии. При этом дополнительно к чину действительного государственного советника получил дипломатический ранг чрезвычайного и полномочного посла. По данным СМИ, Бежуашвили стал главой МИД во многом потому, что являлся близким другом президента Грузии Михаила Саакашвили, готовым во всем поддержать его внешнеполитическую линию и не склонным проявлять самостоятельность.
25 июля 2006 года Бежуашвили, в связи с заявлением бывшего полпреда президента Грузии в Кодорском ущелье Эмзара Квициани о неподчинении центральным властям, сообщил журналистам, что в Кодори будет проведена полицейская операция. При этом Бежуашвили особо подчеркнул, что операция будет именно полицейская, а не военная. Кроме того, он сообщил, что Тбилиси категорически исключает возможность проведение любой — полицейской или военной — операции на территории Абхазии.
24 января 2008 года исполняющий обязанности премьер-министра Грузии Владимир Гургенидзе представил новый состав правительства. Бежуашвили в состав правительства не вошел, заявив о намерении уйти в частный бизнес. Вместо него внешнеполитическое ведомство возглавил экс-госминистр по урегулированию конфликтов Давид Бакрадзе. СМИ отмечали неожиданность этой замены.