Я — математик. Дальнейшая жизнь вундеркинда

Идеи Гиббса не случайно произвели на меня такое сильное впечатление. Как раз перед моим первым учебным семестром в МТИ д-р И. Барнетт из Цинциннати[20] перешел на работу в Кембридж, и мы с ним оживленно обсуждали различные математические и нематематические вопросы. Мне предстояло впервые вести самостоятельную научную работу, и я как-то не знал, на чем сосредоточить свои усилия. Я попросил Барнетта указать мне какую-нибудь симпатичную задачу, над которой еще никто не работал. Он сказал, что имеется огромное поле деятельности, связанное с обобщением понятия вероятности на ситуации, где «возможные состояния» не могут быть представлены точками некоторой плоскости или области пространства, а имеют характер кривых, описываемых какими-нибудь движущимися объектами.

Примером задачи, в которой «возможные состояния» естественно представляются точками, является задача о распределении попаданий в мишень в случае, когда по мишени делается несколько выстрелов и нужно заранее указать вероятную кучность пулевых отверстий. С другой стороны, в задаче о разлетающихся из улья пчелах или, еще лучше, о походке пьяного человека, направление каждого последующего шага которого никак не связано с предыдущим, приходится говорить о вероятностях различных путей. Предположим, например, что наш пьяница находится в центре квадратного поля заданных размеров; как в таком случае рассчитать, сколько в среднем понадобится ему времени, чтобы выбраться с этого поля?

Эта задача о вероятностном расчете процессов, содержащих беспорядочные колебания, имеет определенное историческое значение. Начало XX века сопровождалось существенными изменениями в математике, отражающими новые, более сложные представления о внешнем мире. В XIX столетии основной интерес математики сосредоточивался на изучении точечных объектов и величин, зависящих от переменных, значения которых также являются точками. Новые концепции, возникшие в начале нашего века, ставили своей целью заменить точки траекториями точек, т. е. кривыми.

Любопытно, что корни этого нового подхода к математике можно найти еще в XIX и даже в XVIII столетиях — я имею сейчас в виду те разделы математики, которые касались так называемого вариационного исчисления. В первоначальном дифференциальном исчислении Ньютона и Лейбница рассматривались задачи на максимум и минимум, в которых искомый максимум или минимум имел характер вершины холма или дна чаши (немного более сложный, но родственный характер имеет также перевал в горном хребте). Что же касается вариационного исчисления, то здесь рассматриваются значительно более сложные задачи, типа задачи нахождения самого быстрого пути от одной точки до другой в области, в которой возможная скорость передвижения меняется от точки к точке. Иными словами, в этом случае также решаются задачи на максимум или минимум, но ответом является уже не точка, а кривая.

Таким образом, истоки «математики максимумов и минимумов для кривых» относятся к весьма удаленному от нас периоду, однако полное развитие эта математика получила совсем недавно. Мир кривых гораздо разнообразнее и богаче мира точек, но только математики XX столетия сумели овладеть его богатством.

Под влиянием бесед с Барнеттом весь первый год пребывания в Массачусетском технологическом институте я потратил на поиски возможностей распространения понятия интеграла Лебега на случаи более сложные, чем те, которыми занимался сам Лебег. На эту тему уже имелась одна работа. Ее сделал молодой француз Гато, погибший на войне. К сожалению, он не охватил всего вопроса в целом, и, когда я попробовал продолжить его исследования, у меня создалось впечатление, что они ведут меня в неверном направлении.

Английский ученый П. Дж. Даниель, преподававший тогда в Институте Райс в Хьюстоне (Техас), тоже написал несколько статей, имевших отношение к интересующей меня задаче. Его работы понравились мне гораздо больше, чем статья Гато, и я решил взять их за основу. Однако Даниель не рассматривал специально семейства кривых, и моя попытка применить его методы к этим новым объектам сперва показалась мне самому надуманной и малоинтересной.

В то время я с жадностью набрасывался на различные научные журналы и в том числе просматривал «Труды Лондонского математического общества» (Proceedings of the London Mathematical Society). Там я наткнулся на статью Дж. И. Тейлора — впоследствии сэра Джефри Тейлора[21], — посвященную теории турбулентности. Вопросы турбулентности имеют первостепенное значение для аэродинамики и авиации, и сэр Джефри в течение многих лет считался столпом британской науки в этой области. Статья Тейлора близко соприкасалась с тем, что меня интересовало, так как в случае турбулентного движения траекториями частиц воздуха являются очень сложные кривые и окончательные результаты его статьи включают в себя понятие «осреднения», представляющее собой не что иное, как некоторый способ интегрирования по всей совокупности таких кривых.