Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

Комплексные числа состоят из двух разных частей – действительной и мнимой (в мнимую часть входит квадратный корень из минус единицы). Типичное комплексное число – например, 2+3√-1, где 2 – действительная часть, а 3√-1 – мнимая. Поскольку у комплексного числа две части, его можно представить себе как двумерное: в отличие от действительных чисел, они располагаются не на числовой оси, а на плоскости. Риман решил распространить дзета-функцию на комплексную плоскость. И показал, что в каждой точке комплексной плоскости дзета-функция задает высоту. Она порождает обширный абстрактный ландшафт с горами, холмами, долинами и равнинами, которые тянутся бесконечно во все стороны – дзета-ландшафт. А самые интересные точки дзета-ландшафта, как обнаружил Риман, – это точки, где высота равна нулю, то есть на уровне моря. Эти точки называются нулями дзета-функции, поскольку соответствуют тем комплексным числам, которые, если подставить их в дзета-функцию, дают нуль. Эти комплексные «нули» дзета-функции, которых на дзета-ландшафте бесконечно много, позволили Риману совершить настоящее чудо: он впервые в истории вывел формулу, которая точно описывала, как бесконечное множество простых чисел располагается в числовой последовательности.

Это открытие послужило началом метафорического диалога между математикой и музыкой. До Римана в простых числах слышался лишь случайный шум. Теперь появился новый способ услышать их мелодию. Каждый нуль дзета-функции, входящий в римановскую формулу простых чисел, порождает волну, напоминающую чистый музыкальный тон. Если сочетать все эти музыкальные тоны, они порождают гармоническую структуру простых чисел. Риман обнаружил, что положение данной нулевой точки на дзета-ландшафте определяет высоту и громкость соответствующей музыкальной ноты. Чем дальше нуль к северу, тем выше звук. А главное – чем дальше он к востоку, тем громче. Оркестр простых чисел играет в гармонии, так, чтобы ни один инструмент не заглушал соседей, только если все нулевые точки лежат в достаточно узкой полосе долготы на дзета-ландшафте. Но Риман пошел еще дальше. Разведав лишь крошечный клочок бесконечного дзета-ландшафта, он смело предположил, что все нули лежат вдоль критической линии, проходящей с юга на север. И это утверждение впоследствии и получило название дзета-гипотезы Римана.

«Если гипотеза Римана истинна, – писал дю Сутой, – она объяснит, почему мы не наблюдаем строгой закономерности в расположении простых чисел. Закономерность соответствует точкам, где какой-то инструмент играет громче остальных. Как будто каждый инструмент играет свою закономерность, но при таком совершенном сочетании закономерности гасят друг друга, и остается только бесформенный поток простых чисел, которые то прибудут, то схлынут». Есть что-то волшебное в том, как бесконечное множество нулевых точек на дзета-ландшафте коллективно контролирует размещение бесконечного количества простых чисел среди натуральных: чем сильнее регламентировано расположение нулей по одну сторону зеркала, тем случайнее кажется порядок простых чисел по другую.

Но так ли идеально регламентированы нули, как думал Риман? Если гипотеза Римана ложна, ее опровергнет один-единственный нуль, сместившийся с критической линии. А вычислить, где расположены нули, задача нетривиальная. Когда сам Риман разведывал дзета-ландшафт, то обнаружил, что первые несколько точек на уровне моря выстроились именно так, как он рассчитывал. В начале XX века вручную рассчитали расположение еще нескольких сотен нулей. С тех пор компьютеры локализовали миллиарды нулей – и все они расположены точно на критической линии. Казалось бы, раз до сих пор не удалось найти контрпримера гипотезы Римана, это повышает вероятность, что она истинна. Но это спорный вопрос. Ведь дзета-функция дает бесконечно много нулей, и может статься, что они покажут свое истинное лицо лишь на невообразимо дальних далях дзета-ландшафта – в краях, которые, вероятно, исследуют лишь значительно позднее миллионного года. Те, кто слепо признают истинность гипотезы Римана, не должны забывать, что в истории математики прослеживается интересная закономерность: в алгебре утверждения, долго остававшиеся гипотезами (теорема Ферма), как правило, оказываются истинными, а в математическом анализе (подобные гипотезе Римана) часто бывают ложными.