Играют ли коты в кости? Эйнштейн и Шрёдингер в поисках единой теории мироздания

Гаусс заметил любопытное свойство треугольников в гиперболической геометрии: сумма их углов была меньше 180°. Это отличает гиперболическую геометрию от евклидовой, где сумма углов треугольника всегда равна 180°. Например, в равнобедренном прямоугольном треугольнике два угла равны 45°, а третий — 90°. Талантливый художник М. К. Эшер вдохновился этим различием для создания любопытных узоров из искаженных не-180-градусных треугольников, существующих в гиперболической реальности.

Можно попробовать проиллюстрировать гиперболическую геометрию следующим образом: представьте себе точки, прямые и геометрические фигуры, расположенные не на плоскости, а на поверхности в форме седла или, если эпикурейские удовольствия вам ближе, в форме изогнутых картофельных чипсов. Из-за формы седла находящиеся рядом прямые будут расходиться друг от друга. Как бы им ни «хотелось» идти прямо, они будут отклоняться друг от друга и никогда не встретятся. Это приводит к тому, что через данную точку вы можете провести неограниченное число прямых, не пересекающих прямую, лежащую в стороне от данной точки. Кроме того, седловая форма поверхности «сжимает» треугольники; делая сумму их углов меньше 180°.

Другая версия неевклидовой геометрии впервые была предложена студентом Гаусса Бернхардом Риманом в 1854 году и опубликована в 1867 году. Она стала известна под названием «эллиптическая геометрия»; которое предложил Клейн. В этой геометрии аксиома параллельных заменена утверждением; полностью исключающим возможность существования непересекающихся прямых. Она говорит о том; что через данную точку, не лежащую на данной прямой; невозможно провести ни одной прямой; не пересекающейся с данной. Другими словами; все прямые; проходящие через точку, не лежащую на данной прямой; должны пересекать эту прямую где-то в пространстве. Риман показал; что таким свойством обладают прямые на поверхности сферы.

Если отсутствие параллельных прямых кажется вам странным; представьте себе Землю. Каждый меридиан пересекается со всеми остальными на Северном и Южном полюсах. То есть если какой-нибудь амбициозный путешественник начнет свой путь из центра Торонто строго на север; прямо по Янг-стрит; главной улице города; потом наймет собачью упряжку и ледокол и продолжит свой путь на Северный полюс; в то время как его сестра в это же самое время пойдет по аналогичному маршруту, только из Москвы, то вначале их пути будут казаться параллельными, но, несмотря на это, родственники неизбежно встретятся.

Любопытно, что такой запрет существования параллельных прямых повлиял на свойства треугольников иным образом. В эллиптической геометрии сумма углов треугольника превышает 180°. Возможен, например, треугольник, все углы которого прямые, а сумма углов равна 270°. Примером может служить треугольник, составленный из нулевого и 90-градусного меридианов, а также из соединяющей их части экватора. У такого треугольника все три стороны будут пересекаться под прямыми углами.

Риман разработал очень сложный математический аппарат для анализа кривых поверхностей произвольной размерности. Такие поверхности получили название многообразия. Риман показал, как строго математически обнаружить разницу между кривой и плоской поверхностями. Для этого он ввел тензор кривизны. Тензор — это математический объект, который преобразуется определенным образом при переходе в другую систему координат. Риман показал, что существует три типа пространств: пространства положительной кривизны, пространства отрицательной кривизны и пространства нулевой кривизны. Они соответствуют эллиптической, гиперболической и евклидовой (плоской) геометриям.

Людям, далеким от математики, неевклидова геометрия кажется абстрактной и противоестественной. В конце концов, здравый смысл подсказывает, что параллельность — это что-то про две прямые, которые никогда не пересекутся. Если при параллельной парковке вы врежетесь в другую машину, то вряд ли полиция сделает скидку на неевклидовость. Детям в школе объясняют, что сумма углов треугольника равна 180°. Зачем же усложнять геометрию, изменяя ее основополагающие принципы?

По мере развития своих идей, но еще до создания общей теории относительности Эйнштейн и сам задавался этим вопросом, однако традиции евклидовой геометрии, усвоенные еще на школьной скамье, прочно владели его мыслями. Эйнштейн обсуждал свои идеи с другом семьи и студентом медицинского университета Максом Талми (Талмудом), который часто заходил к нему в гости, и Талми был поражен глубиной суждений столь молодого юноши о математике, природе и других материях.