Игры с Чипом

Сережу этой игре научил Чип и потому все время давал ему первый ход как новичку. И тем не менее каждый раз Сережа проигрывал, хотя он обычно хорошо играл в такие игры. Кое-какие секреты игры он понял: например, что невыгодно брать много спичек первым ходом, а если возьмешь больше 6, то противник берет монетку ответным ходом. Сережа брал по одной спичке, и в ответ Чип брал по одной, иногда по 2. Но выигрывал почему-то все время Чип!

— А знаешь, что делает в таком случае программист? — сказал Чип после 15-го выигрыша подряд. — Если он не может понять, как работает программа с большими числами, он проверяет ее на маленьких.

— Знаю, ты мне это уже говорил, — сердито буркнул Сережа. — Только при чем тут программа? Это же игра, а не алгоритм.

— Это алгоритмическая игра: существует алгоритм выигрыша независимо от хода противника. Но самое удивительное, что выигрывает не тот, кто первым начинает! Так что ты ни в чем не виноват: я заманил тебя в ловушку.

— Как это, начинающий обязательно проигрывает? Так не может быть, у него же лишний ход.

— Ты был бы прав, если бы этим лишним ходом он мог не взять ни одной спички. Тогда он поставил бы противника в свое положение. Но по правилам он обязан в каждый ход сколько-то спичек взять, и как только он это сделает, он уходит от спасительного числа Фибоначчи — 21. А до следующего числа Фибоначчи — тринадцати — ему не дотянуть, тогда противник возьмет монетку ответным ходом.

— Что это еще за числа Фибоначчи?

— О-о, это замечательные числа: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Они тянутся до бесконечности, причем каждое следующее получается сложением двух предыдущих. Они так хорошо служат программистам — хотя средневековый итальянский математик Фибоначчи вряд ли мог на это рассчитывать, — что один неизвестный компьютерный поэт прославил числа Фибоначчи в стихах.

— Интересно было бы послушать, — вежливо сказал Сережа, хорошо зная, что Чипа хлебом не корми, а дай почитать свои стихи, которые он обычно приписывал неизвестным авторам.

— Ты знаешь печальную историю о Карле и Кларе?

— Это что, «Карл у Клары украл кораллы, а Клара у Карла украла кларнет»?

— Да, это про них. Грустно, когда друзья ссорятся. Так вот, они решили помириться, и первый шаг сделала Клара.

Однажды Клара подарила
Ему коробку из-под мыла;
Подумав, Карл послал в ответ
Пустой кулек из-под конфет.
Тогда смягчившаяся Клара
Послала 2 воздушных шара,
А Карл послал ей, подобрев,
3 новых карты масти треф.
И с благодарностью от Клары
Пришли 5 варежек без пары;
Как символ дружбы, Карл в ответ
Шлет 8 разных сандалет.
Растрогавшись, послала Клара
13 труб для самовара,
И, прослезившись, Карл послал
21 коленный вал...

Говорят, они стали добрыми друзьями и все время шлют друг другу подарки. И каждый из них, не желая уступить другому в щедрости, прибавляет к своему последнему числу подарков последнее число подарков, полученных от друга. Так и получаются числа Фибоначчи.

— Замечательное стихотворение, Чип, но я все-таки не понимаю, как ты меня обыгрывал с помощью этих чисел Фибоначчи.

— Предположим для начала, что у нас 2 спички и монетка. Тогда начинающий проигрывает, согласен? Он не может сразу взять монетку, и ему приходится брать 1 спичку, после чего противник одним ходом берет оставшуюся спичку вместе с монеткой. Вот мы и нашли первое спасительное число 3. Если ты оставил противнику это число, он проиграл.

— Ага, а если было 4 предмета — 3 спички и монетка, то можно убрать 1 спичку, и противник проиграет, — подхватил Сережа, — ведь он не сможет взять больше двух спичек.

— Правильно, значит, 4 не спасительное число, если я дам его противнику, он может выиграть. Идем дальше: если начинать с 5, то первым ходом можно взять только одну спичку, иначе противник сможет ответным ходом дотянуться до монетки. Но если ты возьмешь 1 спичку, то ты тоже проиграешь, потому что противник может, взяв 1, оставить тебе проигрышную позицию, которую мы только что разобрали.

— Значит, 5 — спасительное число. Действительно, получаются числа Фибоначчи, но пока я не уловил общего правила — как надо играть, чтобы всегда выигрывать, даже если ты дал противнику спасительное число Фибоначчи. Например, противник начинает с 8. Мне нужно сделать так, чтобы ему досталось число 5, верно?