Информация и человек

И всё-таки как-то не верится, что даже очевидные вещи познаются лишь благодаря опыту, позволяющему увидеть какую-то там взаимосвязь между различной информацией. Разве совсем ещё юный мальчишка, приступая к изучению азов геометрии, когда-нибудь ранее задумывался о том, что, например, через две точки можно провести только одну прямую? Однако такое утверждение принимается без доказательств и не вызывает возражений. Оно очевидно, и никакого опыта для понимания этого факта не требуется. И что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками, тоже очевидно. И многое другое тоже.

Известно, что все математические выкладки строятся на строгих доказательствах, которые базируются на аксиомах, то есть на математических утверждениях, не нуждающихся в доказательствах в силу своей очевидности. Но что это значит – «очевидно»? Это понятие чисто субъективное, и невозможно строго установить, где кончается эта самая очевидность и начинается «неочевидность». Существует великое множество самых разных математических и логических софизмов, в основе которых лежат вполне, вроде бы, очевидные постулаты, но получаемые результаты при этом явно абсурдны. И наоборот, некоторые «очевидные» умозаключения, ясные без всяких доказательств, могут оказаться абсурдом. В качестве примера можно рассмотреть следующую задачу.

Допустим, футбольный мяч опоясали обручем. Затем этот обруч нарастили ровно на один метр. Между обручем и поверхностью мяча образовался зазор. А теперь представим себе, что обручем опоясали земной шар. Затем этот обруч тоже нарастили ровно на один метр. Между этим обручем и поверхностью земного шара также образовался зазор. Вопрос: в каком случае зазор будет больше?

Ответ очевиден: конечно же, в случае с мячом. Ну, разве может сыграть какую-то роль один лишний метр в такой огромной окружности как окружность с диаметром земного шара? Воображение подсказывает, что этот обруч чуть-чуть ослабит своё натяжение, и всё. (Вообще-то это лишь игра воображения, по условиям задачи предполагается, что обруч не может растягиваться, а следовательно, и не может ослаблять своё натяжение.) Но если не полагаться на интуицию, а решить эту задачу используя известные ещё со школьной скамьи формулы, то можно легко убедиться, что зазор в обоих случаях будет одинаков.

***

Для тех, кому лень вспоминать формулы, а решение знать хочется, приведём это решение. Допустим, диаметр мяча равен r. Первоначальный радиус обруча, естественно, тоже равен r. Радиус обруча, после того, как его нарастили, обозначим через R. Тогда зазор равен R-r. Именно эту разность нам и надо определить.

Обозначим первоначальную длину окружности как L. Тогда длина наращённой на один метр окружности равна L+1м. Известно, что длина окружности равна длине её радиуса умноженного на 2, то есть L=2r, а (L+1м)=2R. Отсюда r=L/2, а R=(L+1м)/2. Соответственно, искомую разность можно определить так: (R-r)=(L+1м)/2 – L/2 =1м/2. То есть зазор между поверхностью мяча и обручем будет равен одному метру, поделённому на 2, а именно 15,9 см.

А какой зазор будет в случае с земным шаром? Посмотрите на приведённые выкладки для мяча. Там нигде не потребовалось указывать конкретную длину радиуса. То есть эти выкладки применимы для любой окружности, в том числе и такой, какую образует опоясавший земной шар обруч. (В нашем случае в приведённых рассуждениях достаточно заменить слово «мяч» на слова «земной шар», всё остальное – то же самое.) И увеличение длины любой окружности на один метр вызовет увеличение её радиуса на 15,9 см. То есть ответ для нашей задачи будет такой: зазор в обоих случаях будет одинаков. А это, согласитесь, не очень-то очевидно.

***