Интернет-журнал "Домашняя лаборатория", 2007 №1

3. Оценку (6) можно несколько улучшить. Для этого достаточно вместо (3) использовать более точную оценку приближения произвольного числа а подходящими дробями. Именно, ([1]. стр. 30) имеют место неравенства:

(7)

Поэтому если дробь p_n/q_n — первая из последовательности подходящих дробей, которая приближает число а с точностью ε, то, очевидно, имеют место неравенства:

и в тоже время

Из последнего неравенства вытекает

q_n-1q_n <= 1/ε (8)

Но

q_n-1q_n = q_n-1(a_nq_n-1 + q_n-2) >= a_nq²_n-1

Поэтому (8) превращается в неравенство

каковая оценка является просто уточнением первого из неравенств (5). Поэтому точно так же, как и раньше получаем уточненную оценку для I_c(ε):

_{Список литературы}

_{[1] А. Я. Хинчин. Цепные дроби. Государственное изд-во физ. — мат. лит-ры. М., 1961.}

Задача: Три рыбака ловили рыбу и после ловли заночевали на берегу. Двое рыбаков заснули, а третий решил уехать домой со своей частью улова. Он разделил рыбу на 3 равные части, но при этом одна рыбина оказалась лишней. Он швырнул ее в воду, забрал свою треть и ушел.

Среди ночи проснулся второй рыбак и тоже решил уехать. Не зная, что первый рыбак уже ушел, он тоже поделил всю рыбу на 3 равные части, одна рыбина снова оказалась лишней, он ее тоже выкинул и ушел.

То же произошло и с последним рыбаком: проснувшись, он тоже разделил оставшийся улов на 3 равные части, выкинул одну рыбину и ушел.

Вопрос: какое наименьшее количество рыб могло быть у рыбаков?

Решение П. А. М. Дирака: Рыб было (-2). После того, как первый рыбак выкинул одну рыбину в воду, их осталось (-2) — 1 = -3. Потом он ушел, унося (-1) рыбу. Рыб стало (-3) — (-1) = -2. Второй и третий рыбаки просто повторили поступок своего товарища.

Из книги "Физики продолжают шутить".

На самом деле решение Дирака, хоть и остроумно, но, строго говоря, неверно, и во всяком случае неполно. Приведем полное, "математическое" решение, т. е. найдем ВСЕ решения.

Решение.

Пусть в начале рыб было n₀ (количество, после того, как уехало 0 рыбаков). Первый рыбак выбросил одну (лишнюю) рыбину (n₀ — > n₀ — 1), после чего количество рыбин стало делиться на 3, и взял 1/3 оставшегося улова, и после себя он оставил n₁ = (2/3)∙(n₀ — 1) рыбин. Аналогичным образом действовали и остальные рыбаки, так что после отъезда 2-го рыбака рыб осталось n₂ = (2/3)∙(n₁ — 1), а после отъезда 3-го — n₃ = (2/3)∙(n₂ — 1). Подставляя в последнее равенство выражения для n₂ и n₁, получаем:

В итоге получаем уравнение, требующее разрешения в целых числах:

8n₀ — 27n₃ = 38.

Для упрощения расчетов имеет смысл уменьшить входящие в уравнение числа перейдя к новым переменным n₀ = n₀ + k, n₃ = n₃. Если взять k = 5, то уравнение превратится в

27n₃ — 8n₀ = 2. (1)

Это уравнение имеет вид

ах — by = с (1')

т. е. является диофантовым уравнением, и нужно найти все решения данного уравнения. Как это сделать?

Взглянем на уравнение (1') с точки зрения теории сравнений. В самом деле, требуется найти такое число х, что ах отличается от заданного числа с на слагаемое, кратное Ь. Иными словами, разность ах — с делится на Ь, т. е. (ах — с) = ()(mod b) или

ах = c(mod Ь). (1")

То же самое можно выразить словами: "ах сравнимо с с по модулю b" или "ах принадлежит тому же классу вычетов по модулю Ь, что и с". Т. е. мы свели уравнение с двумя неизвестными (х и у) к уравнению с одним неизвестным, поскольку ясно, что из (1'), зная х, сразу же можно найти у. Однако х все же не произволен, а именно — удовлетворяет (1").

Кроме того, можно усмотреть следующее. Уравнение (1') (или (1")) — это неоднородное сравнение первой степени (т. е. линейное сравнение). Согласно общей теории, общее решение неоднородного сравнения есть сумма частного решения неоднородного сравнения и общего решения однородного сравнения ах = ()(mod b). Таким образом, задача разбилась на две.