Интернет-журнал "Домашняя лаборатория", 2007 №11

Выражение для расчета математического ожидания квадрата мультипликативной дополнительной погрешности без учета динамических характеристик каналов воздействия измеряемой и влияющих величин имеет вид [10]:

M{Δ²_доп} = a²[μ²_xμ²_ε + σ²_xσ²_ε(1 + 2p²x_ε) + μ²_xσ²_ε + μ²_εσ²_x + 4μ_xμ_εσ_xσ_εp_xε]. (6)

где p_xε — коэффициент корреляции между измеряемой и влияющей величинами.

Здесь и в дальнейшем под обозначением μ_ε, будем понимать смещение математического ожидания влияющей величины относительно значения μ₀, которое принято при градуировке измерительного преобразователя.

В том случае, когда в сигналах входной и влияющей величин присутствуют гармонические составляющие, определяемые соответственно как:

x_h(t) = C_xsin(ω_xt),

ε_h(t) = C_εsin(ω_εt).

где C_x и C_ε — амплитуды гармонических составляющих соответственно входного и влияющего воздействий; ω_x и ω_ε — их частоты.

Выражение для расчета квадрата мультипликативной дополнительной погрешности с учетом гармонических составляющих коррелированных сигналов измеряемой и влияющей величин имеет вид [5]:

В том случае, когда гармонические составляющие случайных процессов x_h(t) и ε_h(t) коррелированы, т. е. ω_x = ω_ε, выражение (7) усложняется:

где ф — сдвиг фаз между гармоническими составляющими.

При воздействии на измерительный преобразователь n статистически независимых влияющих величин (рис. 1), не коррелированных с входным воздействием, выражение для расчета квадрата мультипликативной дополнительной погрешности имеет вид

где a_i — коэффициент влияния i-той влияющей величины.

Рис. 1. Структура модели возникновения дополнительной погрешности при наличии множества влияющих воздействий.

При воздействии на ИП n статистически зависимых влияющих величин, которые коррелированы с входным воздействием, выражение (9) существенно усложняется и принимает вид:

Во всех предыдущих расчетах предполагалось, что тракты прохождения измеряемой и влияющей величин являются безинерционными, или, искажениями формы сигналов за счет инерционности можно пренебречь. В том случае, когда в каналах присутствует инерционность (рис. 2), расчет математического ожидания квадрата мультипликативной дополнительной погрешности осуществляется по иной схеме.

Рис. 2.Структура модели образования динамической и мультипликативной дополнительной погрешностей при учете динамических свойств каналов сигналов входного и влияющего воздействий

При наличии в измерительном канале инерционности в результат измерения помимо дополнительной погрешности вносится еще и динамическая погрешность. Существующие методы расчета позволяют вычислить отдельно каждую составляющую, а затем, произвести геометрическое суммирование. При этом, как правило, предполагается, что эти составляющие статистически независимы. В действительности, это допущение не совсем корректно, т. к. не учитывает наличие корреляционной связи между составляющими суммарной погрешности, возникающей при прохождении измерительного сигнала и сигнала влияющей величины через тракт ИП.

Суммарная погрешность ИП, будет определяться из соотношения:

Δ(t) = x(t) — y₁(t) = x(t) — [a∙y(t)e(t) + y(t)].

Определим квадрат суммарной погрешности:

Δ²(t) = [x(t) — y(t) — ay(t)e(t)]² = [x(t) — y(t)]² + a²y²(t)e²(t) — 2ay(t)[x(t) — y(t)].

В выражении (11) присутствуют 3 составляющие. Первая определяет квадрат динамической погрешности Δ²_дин; вторая — квадрат дополнительной погрешности Δ²_доп; третья — член, обусловлен наличием корреляционной связи между дополнительной и динамической погрешностями.

Рассмотрим, в качестве примера, случай, когда случайный процесс на входе измерительного канала имеет спектральную плотность мощности вида:

S_x(ω) = 2σ²_xα/π(α² + ω²),

где α — параметр функции СПМ, а передаточная функция каналов воздействия сигналов ИП описываются инерционным звеном первого порядка:

W(jω) = 1/(1 + jωT))

где Т — постоянная времени.

Дисперсии измеряемой и влияющей величин соответственно равны [12]:

σ²_y = σ²_x/(1 + αT₁),

σ²_e = σ²_ε/(1 + αT₂),

Примем так же, как наиболее характерный случай, что корреляционная матрица входного воздействия и влияющей величины определена как:

где а_х, а_ε и а_хε, а_εх, с = σ_xσ_εp_xε — параметры соответственно корреляционных и взаимных корреляционных функций измеряемого и влияющего воздействий.

Математическое ожидание квадрата динамической погрешности равно:

M{Δ²_дин} = σ_xВ₁/(1 + B₁)

где В₁ = а_xТ₁.

Математическое ожидание квадрата мультипликативной дополнительной погрешности:

где В₂ = а_εТ₂.

Математическое ожидание корреляционной составляющей суммарной погрешности определяется из следующего выражения:

 (14)