Интернет-журнал "Домашняя лаборатория", 2008 №4

Или то же самое, но в фазовом пространстве (время мы убрали, здесь только численности хищника и численность жертвы):

Все видят, что процесс идет против часовой стрелки?

Проблема в том, что это цикл нейтральный, т. е. амплитуда колебаний задана начальными условиями, и не меняются, чего не бывает в жизни. Слишком долго объяснять, почему нейтральный цикл — это патологическое поведение. Примите это на веру. Эта модель хороша только как игрушечная модель, которая объясняет, что если все сделать самым простым образом, то получится цикл.

Нам надо подправить эту модель. Как это сделать? Самый элементарный способ — вместо экспоненциального роста ввести логистический. Если мы это сделаем, то это даст немедленный эффект, то есть модель стабилизируются, будут затухающие колебания, которые придут к точке, являющейся устойчивой. Если же мы поставим экспоненциальную модель, а сюда вместо первого поставить второй тип функциональной зависимости, то это приведет к дестабилизации, то есть амплитуда колебаний увеличивается, пока не произойдет столкновение с нулем, либо — что чаще и происходит — жертвы растут экспоненциально, а хищники (поскольку у них ограниченная скорость роста, просто не успевают убивать жертв) за ними не успевают, они тоже растут экспоненциально, но более медленно, и оба растут до бесконечности.

Мы изменили модель в два шага. Если же мы поменяем и то, и другое, то получим наиболее приближенную к реальности модель Розенцвайга-МакАртура:

Здесь К — емкость среды.

Эта модель на самом деле очень простая, простейшая модель, которая может быть приложена к реальным экосистемам. Пользуясь теоремами, которые еще Колмогоров доказал, можно доказать, что колебания в фазовом виде придут либо к стабильному циклу, либо к стабильной точке. Только два поведения. Может быть еще, конечно, ситуация, когда обе популяции упадут в ноль. Но два поведения — достаточно, потому что в зависимости от параметров мы можем получить либо стабильную точку, либо стабильный цикл.

Рассмотрим конкретный пример. На графике изображены сплошной линией — жертва (лог-шкала), а пунктирной — хищник.

Заметим, что это стабильный цикл. Поэтому если начнем с любой точки, все вернется на круги своя, и амплитуда хищников, и амплитуда жертв будет определена.

Для этих для конкретных параметров амплитуда хищников намного больше, чем амплитуда жертвы. Видно, что у жертвы верхние пики закругленные, и это важный момент, это результат нашего логистического уравнения. Без него хищники никогда не смогли бы догнать жертв, которые росли бы экспоненциально гораздо быстрее чем хищники, и никакого цикла не получилось бы.

Из них следует, что сначала жертвы растут до своей емкости среды, а хищники растут экспоненциально, потому что прямая линия на этом графике — это экспоненциальный рост. Потом их становится так много, что они поедают всех жертв, численность жертв падает экспоненциально, жертв становится мало, и у хищников численность тоже падает экспоненциально, затем, когда хищников почти не остается, численность жертв растет, причем кривая загибается на пике. Поэтому хищники выглядят такой пилообразной кривой, прямой подъем сменяется прямым спадом. А жертвы — у них трехфазовый подъем, потом они сидят близко к равновесию, потом спад. Получается закругленные пики. Таким образом, по топологии графиков можно определить, кто хищник, а кто жертва.

На следующем графике мы видим реальные данные — колебания популяции полевок, живущих в северной Финляндии. Полевка — это мышь, которая ест только траву. Финские экологи изучали их плотность два раза в год, в течение 40 лет. Они ставили ловушки и смотрели, сколько полевок в них попадется, рассчитывая из этого их плотность. Видно, что цикличность не очень четкая, но видно, что нижние концы все острые, а верхние — закругленные. Это больше напоминает жертв, чем хищников.

Ниже представлены колебания численности полевок (англ. voles), живущих в другом городе северной Финляндии. Видно, что популяция на пиках по три-четыре с половиной года сидела на емкости среды. Не все пики, но большинство пиков затупленные.

У леммингов (англ. lemmings), колебания плотности которых, тоже представлены ниже, практически все пики острые. Можно статистически показать, что у полевок пики тупые, а у леммингов — острые.

Из всего этого можно сделать вывод, что полевки, скорее, жертвы, а лемминги — хищники. Известно, что лемминги едят мох, и, на самом деле, они — травоядные, поэтому из остроты пиков следует, что лемминги потребители, а не ресурсы. Причины колебания у полевок и леммингов разные, хотя образ жизни у них похожий. Для полевок было доказано с помощью экспериментов, что их главный хищник — ласка. Есть подобные данные по ласкам, и показано, что колебания их численности согласуются с колебаниями численности полевок согласно модели «хищник-жертва».