Интерстеллар: наука за кадром

Глава 4. Искривления пространства и времени, приливная гравитация

Простейшее количественное представление эйнштейновского закона искривления времени: положите рядом две пары одинаковых часов, чтобы они находились в покое друг относительно друга и находились на разных расстояниях от действующего на них гравитационного притяжения. Пусть R — это дробная разница скорости хода часов, D — расстояние между ними, a g — действующее на них гравитационное ускорение (направленное от часов, которые идут быстрее, к часам, которые идут медленнее). Тогда закон Эйнштейна утверждает, что g = Rc²/D. В случае эксперимента Паунда — Ребки в гарвардской башне R равнялось 210 пикосекундам в день: 2,43∙10^-15, а высота башни D равнялась 73 футам (22,3 метра). Подставляя эти значения в формулу для закона искривления времени, получим g = 9,8 м/с², что действительно равняется гравитационному ускорению (ускорению свободного падения) на Земле.

Глава 6. Анатомия Гаргантюа

Для черной дыры, которая, как Гаргантюа, вращается очень быстро, окружность горизонта С в экваториальной плоскости выражается формулой С = 2πGM/c² = 9,ЗМ/M_☼ км. Здесь М — это масса дыры, а М_☼ = 1,99∙10³⁰ — это солнечная масса. У очень медленно вращающейся дыры окружность горизонта вдвое больше. Радиус горизонта равен его окружности, деленной на 2π: R = GM/c²= 1,48∙10⁸ в случае Гаргантюа, что практически равно радиусу орбиты Земли вокруг Солнца.

Массу Гаргантюа я выбрал исходя из следующих рассуждений: масса планеты Миллер m вызывает направленное внутрь гравитационное ускорение g на поверхности планеты в соответствии с ньютоновским законом обратных квадратов g = Gm/r², где г — это радиус планеты. На стороне планеты, которая обращена к Гаргантюа, и на стороне, которая противостоит дыре, приливная гравитация Гаргантюа вызывает растягивающее ускорение gt (разница силы притяжения Гаргантюа между поверхностью планеты и ее центром, на расстоянии r), gt = (2GM/R)r³. Здесь R — это радиус орбиты планеты Миллер вокруг Гаргантюа, который практически соответствует радиусу горизонта черной дыры. Если приливное ускорение превысит собственное гравитационное ускорение планеты, ее разорвет на части, поэтому gt должно быть меньше g: gt < g. Подставляя формулы для g, gt и R, выразив массу планеты через ее плотность ρ как m = (4π/3)r³ρ и произведя некоторые вычисления, получим: М = √(3c³)/√(2πG³ρ). Я оцениваю плотность планеты Миллер как ρ = 10000 кг/м³ (что приблизительно соответствует плотности сжатых горных пород), откуда получаю выражение для массы Гаргантюа: М < 3,4∙10³⁸ кг — это примерно 200 миллионов солнечных масс, что я, в свою очередь, аппроксимирую до 100 миллионов солнечных масс. Используя уравнения теории относительности, я получил формулу, которая связывает замедление времени на планете Миллер, S = (один час за семь лет) = 1,63∙10^-5, с долей а, на которую скорость вращения Гаргантюа меньше максимально возможной: α = 16S³/(3√3). Эта формула верна только для очень высоких скоростей вращения. Подставляя значение S, получим α = 1,3∙10^-14, то есть скорость вращения Гаргантюа меньше предельной приблизительно на одну стотриллионную долю.

Глава 8. Внешний вид Гаргантюа

Уравнения для орбитального движения лучей света вокруг Гаргантюа, которые я предоставил Оливеру Джеймсу из Double Negative, — вариант уравнений из приложения А в [Levin, Perez-Giz 2008]. Уравнения для изменения сечения пучков света — вариант уравнений из [Pineult, Roeder 1977a] и [Pineult, Roder 1977b]. В нескольких статьях, которые будут выложены по адресу arxiv.org/find/ gr-qc, мы с командой Пола Франклина дадим конкретные формы наших уравнений и расскажем о подробностях их реализации и полученных в ходе моделирования результатах.

Глава 12. Задыхаясь без кислорода

Вот расчеты, лежащие в основе заявлений, которые я делаю в главе 13. Это неплохой пример того, как ученый производит оценки. Цифры здесь весьма приблизительны; я указываю их точность лишь до одного знака после запятой.

Масса земной атмосферы 5∙10¹⁸ кг, из которых около 80 процентов — это азот, а 20 процентов — молекулярный кислород, 0₂; тогда выходит, что в атмосфере 10¹⁸ кг O₂. Количество углерода в неперегнивших растениях (геофизики называют его «органическим углеродом») составляет около 3∙10¹⁵ кг — приблизительно половина находится в поверхностных слоях мирового океана, и половина — на суше (таблица 1 из [Hedges, Keil 1995]). Обе эти части окисляются (преобразуются в СO₂) в течение примерно 30 лет. Поскольку молекула СO₂ состоит из двух атомов кислорода (полученного из атмосферы) и лишь одного атома углерода, а масса атома кислорода составляет 16/12 от массы атома углерода, после того как все растения на Земле погибнут, на окисление органического углерода будет затрачено 2 х 16/12 х (3∙10¹⁵ кг) = 10¹⁶ кг O₂ — один процент всего атмосферного кислорода.