Искатели необычайных автографов

— Прежде чем перейти к сути дела, — говорит он, — хочу обратить ваше внимание на одно обстоятельство. Подобно мэтрам Паскалю и Ферма, мы с мэтром Лейбницем также совершили одно и то же открытие, независимо друг от друга. Это дифференциальное и интегральное исчисление. Надо, однако, признать, что открытие это — всего лишь завершение того, что начато нашими предшественниками. В первую очередь мэтрами Паскалем и Ферма, а также отсутствующим мэтром Декартом.

Бурное одобрение.

Все встают и долго рукоплещут.

— А теперь перейдем к вопросу, затронутому мэтром Лейбницем, — продолжает Ньютон, дождавшись тишины. — Должен снова оговориться. Формула разложения степени бинома носит мое имя не совсем справедливо. Ею пользовались задолго до меня. О моей роли в ее судьбе я как раз собираюсь рассказать. Для начала запишу эту формулу в ее обычном виде:

(a + b)ⁿ

= aⁿ + C_n¹a^n—1b + C_n²a^n—2b² + C_n³a^n—3b³ + … + bⁿ

Здесь коэффициенты в каждом члене, как вам уже известно, есть число сочетаний из п по нулю, по единице, по два, по три и так далее, то есть

Что же нового внес в эту формулу я? Только то, что предложил обобщить ее, иначе говоря, не ограничивать целым числом для п, а распространить на любые значения показателя степени — дробные, отрицательные… При этом формула сочетаний, выведенная мэтрами Паскалем и Ферма, тоже становится обобщенной. Что же касается самой степени бинома, то она раскладывается в бесконечный ряд. — Мэтр Ньютон предупредительно оборачивается к Паскалю. — Вот в каком виде я предлагаю ее записывать:

Например, для n = 1/2 получится такой ряд:

Или:

Сохраняя любое число слагаемых в правой части, можно вычислить эту сумму с любой степенью точности. Само собой разумеется, что икс в нашей формуле меньше единицы.

Мэтр Ньютон садится, и Пифагор собирается уже объявить следующего оратора… Но тут в телевизоре что-то щелкает, и место Пифагора занимают Знатоки, сообща разоблачающие преступника. Мате с досадой хлопает себя по коленке. Черт знает что!

— Вот именно, мсье, — откликается Асмодей. — Я, во всяком случае, всегда знаю, что делаю. Кроме того, привычка — вторая натура, как сказал Цицерон. А он тоже знал, что говорил.

Разговор без фокусов

— Ну-с, чем вы удивите нас теперь? — допытывается Фило, когда вздремнувшая после обеда компания снова собирается у Мате. — Еще одной телевизионной передачей?

— За кого вы меня принимаете, мсье! Телевизионная передача уже была, а подлинный художник не повторяется.

— У-у-у! Тогда я вам не завидую, — подтрунивает Мате. — Нагородив такую пропасть фокусов, трудненько придумать новые.

— Вы забываете, мсье, что в запасе у меня всегда остается возможность вообще ничего не придумывать. И разве это не самый оригинальный способ не повторяться? Сейчас мы с вами сядем за стол и тихо, без фокусов подытожим все, что узнали о теории вероятностей.

У Фило это сообщение восторга не вызывает. Его куда больше интересует комбинаторика. Он все еще не раскусил, с чем ее едят.

— В самом деле? — улыбается Мате. — А между тем с начатками ее вы наверняка знакомились в десятилетке. Вспомните раздел «Соединения». Размещения, сочетания, перестановки…

— Так это и есть комбинаторика? — удивляется Фило. — Выходит, я, как мольеровский Журде́н, всю жизнь говорил прозой, сам того не подозревая.

— Удачнейшее сравнение, мсье. Как и все прочие смертные, вы действительно постоянно решаете комбинаторные задачи, совершенно о том не думая.

— Я?! Полно шутить! Обещали без фокусов, а…

Но Мате уверяет, что никаких фокусов нет. Просто любая, даже самая несложная задача из тех, что выдвигает перед нами повседневность, заставляет нас учитывать ряд обстоятельств, прикидывая, как бы получше их скомбинировать. Не следует, конечно, в данном случае придавать слову «комбинация» дурной смысл. Упаси боже! Он, Мате, вовсе не хочет сказать, что все поголовно человечество похоже на великого комбинатора Остапа Бендера. Но некий комбинаторный навык бесспорно есть, да и должен быть у каждого. Вот, например, вы позвали гостей, и вам предстоит рассадить за квадратным столом двенадцать человек…

— Велика сложность! Посажу по трое с каждой стороны.

— И, стало быть, произведете определенное СОЕДИНЕНИЕ. Однако сделать это можно многими способами. Можно рассадить гостей так, чтобы соседями оказались люди, друг другу интересные. Тогда вечер наверняка удастся. Можно,наоборот, сделать так, что Иван Иванович, сидящий на одном конце стола, будет все время перекрикиваться с Петром Петровичем, сидящим на другом, а Марья Спиридоновна, наоборот, угрюмо промолчит весь вечер, так как ей очень хотелось сидеть с Настасьей Никаноровной, а соседкой ее оказалась глухая Агриппина Сципионовна.

Фило смотрит на друга широко раскрытыми глазами. Кто б мог подумать, что Мате такой дипломат!

— И это всё, что вы вынесли из моего примера? — язвит тот. — Я на вашем месте сделал бы совсем другой вывод.

— Какой же?

— А такой, что от степени ваших комбинаторных способностей зависит исход дела. Иначе говоря, вероятность удачи. Вы меня понимаете?