Искатели необычайных автографов

Фило шутливо схватился за голову. Не было печали! Мало ему обычной алгебры, так нет — есть еще какая-то Булева…

— Не какая-то, — строго поправили его. — Алгебра логики. Ее изобрел в девятнадцатом веке англичанин Джордж Буль.

Фило насторожился: одного Джорджа Буля он уже знает. Это отец известной писательницы Войнич. Автора бессмертного «Овода».

— Если так, значит, мы с вами говорим об одном и том же человеке, — сказал Мате. — Вот только относимся к нему по-разному. Для вас Буль — отец известной сочинительницы Войнич, а для меня Войнич — дочь выдающегося, хоть и неизвестного, ученого Буля.

— Выдающийся и неизвестный… Так не бывает.

— Бывает, — упрямо сказал Мате. — Слава приходит к людям по-разному. К одним — сразу, к другим — через многие века.

— Но что он такое сделал, ваш Буль?

— Написал «Математическое исследование логики», где логические рассуждения выражены алгебраическими формулами. С помощью буквенных обозначений.

Фило просто из себя вышел: что за дикая выдумка!

— Не такая уж дикая, как вам кажется, — возразил Мате. — Она приходила в голову и другим ученым. В конце тринадцатого века ее проповедовал итальянский отшельник Лу́ллий, но безуспешно. Один Джордано Бруно воздавал ему должное. В семнадцатом веке та же идея занимала великого немецкого математика Ле́йбница. Но и его соображения по этому поводу прозябали в неизвестности более двухсот лет.

— Но почему ж тогда эту алгебру называют Булевой? — возмутился Фило. — Ведь Буль, насколько я понимаю, всего лишь последователь Луллия и Лейбница.

— Не думаю. Скорее всего, мысль исследовать логику с помощью алгебры пришла ему в голову совершенно самостоятельно. Вы ведь уже знаете, что в науке так случается. И кроме того, то, что было наброском у Луллия и Лейбница, превратилось в завершенную теорию у Буля.

Фило иронически побарабанил пальцами по ручке кресла.

— Еще одна теория без применения.

— Нет, это невыносимо! — взвился Мате. — Сто́ит ли мыкаться с вами по средневековым базарам и проваливаться в кроличьи ямы, если вы не можете понять, что открытий без применения не бывает. Возьмите числа Фибоначчи… Разве не пошли они, в конце концов, в ход?

— Но когда? Через семь веков!

— До чего все-таки разные у нас взгляды! — с сердцем воскликнул Мате. — Для вас важно, что через СЕМЬ ВЕКОВ, а для меня, что ПРИГОДИЛИСЬ. Впрочем, Булю повезло. Его изобретение пролежало без дела не более ста лет. И теперь алгебра логики — одна из самых действенных научных теорий современности. Достаточно сказать, что на ней основана кибернетика…

— Не увлекайтесь, — перебил Фило, — нам с вами о кибернетике толковать рано.

— Ваша правда. Я и забыл, что на нашей совести несколько неразобранных задач.

Кофе с математикой

— Ну-с, с чего начнем? — спросил Фило, потирая руки.

— Я думаю, с кофе, — неожиданно заявил Мате. — У меня отличная кофеварка. Обратите внимание: собственная конструкция!

Толстяк подозрительно оглядел нескладный гибрид алюминиевой кастрюльки и электрочайника, от которого тянулся провод к разбитой фарфоровой розетке. Но кофе, против ожиданий, оказался превосходным, и лакомка Фило дал себе слово непременно выведать секрет его приготовления.

Тут он обратил внимание на необычной формы пятиугольную чашку, и мысли его сами собой перенеслись к задаче магистра Теодора. Некоторое время интерес к кофе боролся в нем с интересом к математике, но потом ему пришло в голову, что пить кофе и решать задачи можно одновременно. Он поделился своим открытием с Мате, и тот без лишних слов приступил к доказательству.

— Так вот, — сказал Мате, открывая неизбежный блокнот, — требуется вписать в квадрат ABCD равносторонний пятиугольник таким образом, чтобы одним из углов его был угол квадрата. — Он начертил квадрат. — Прежде всего проведем диагональ квадрата BD. Теперь на глазок впишем в квадрат равносторонний пятиугольник BEgFK так, чтобы диагональ BD была его осью симметрии. Сторону квадрата обозначим буквой а, сторону пятиугольника, естественно, через х — ведь именно она-то нам и неизвестна. Таким образом, АК = а — x; KF=x; AF = a — FD. Но FD есть гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника FLD, катеты которого равны ^х/₂. Теперь соблаговолите определить, чему равна гипотенуза FD.

Фило довольно бойко отрапортовал, что, согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. А раз так, значит, гипотенуза

— Отлично, — сказал Мате. — Стало быть, AF = а — ^x√2/₂. Теперь все стороны треугольника AKF выражены у нас через искомое число х: KF = x; АК = а — х; и, наконец, AF = а — ^x√2/₂. Снова обратимся к теореме Пифагора и получим, что KF² = AK² + AF², то есть х² = (а — х)² + (а — ^x√2/₂)²

— Что-то вроде квадратного уравнения, — сообразил Фило.

— Вот-вот. Надо лишь привести его в приличный вид.

Мате раскрыл скобки и перенес все члены уравнения в левую часть равенства:

х² — 2а(2 + √2)х + 4а² = 0.

— Решив уравнение по обычной формуле, — продолжал он, — получим: