Искусственный интеллект

FA арифметики Пеано, доказательства непротиворечивости весьма громоздки, используют теоретико-множественную индукцию.

Только в 2004 году в [6] впервые опубликовано негёделевское построение теорий первого порядка, дано доказательство непротиворечивости всех известных формульных аксиоматических теорий с соответствующим историко-методологическим обоснованием. Предварительно в [6] каждая такая теория К перестраивается теоретико-множественно по Колмогорову и для неё доказывается теорема 1 о редукции в логику высказываний. (См. публикацию [7] 1999 г. и замечания к ней в [6, с. 31-32]).

Доказательство непротиворечивости в [6, 7] известной теории К осуществлено в два этапа хорошо знакомыми комбинаторными средствами: на 1-ом этапе доказана теорема 1 (о редукции К в логику высказываний); на 2-ом этапе доказана теорема 2 (о непротиворечивости К).

Доказательство теоремы 2 для К полностью зависит от теоремы 1 для К и не может быть перенесено на каждую теорию, например, на теории с правилом МР* (см. [6, 7]) - в частности, не может быть получена нелепость: «доказательство непротиворечивости противоречивой теории».

Предыдущий абзац очевидно следует из двух этапов доказательства непротиворечивости известной теории К и поэтому в силу его очевидности часто не указывается, например, в [6, 7], что, к сожалению, иногда ведет к трудностям. Дело в том, что на колмогоровском пути теоретико-множественной общности некоторые факты доказываются весьма просто и неожиданно понятно!

Подчеркнем значение леммы 1, названной в [6] критерием непротиворечивости известной (но не любой!) теории К. Лемма 1 впервые сформулирована в [6, 7] и утверждает (доказывает), что все аксиомы теории К, по их виду, не являются ни W-формулами (см. в [6, 7] определение 1), ни Выделенными формулами (см. определение 2).

Доказательство леммы 1 проведено в [6, 7] комбинаторными средствами сравнения слов в алфавитах.

На основе леммы 1 получено в [6, 7] доказательство главной теоремы 1 о редукции множества М всех выводов теории К в логику высказываний.

Следствием теоремы 1 является в [6, 7] теорема 2 о непротиворечивости теории К, доказываемая методом от противного.

Критерий непротиворечивости (точнее, доказательства непротиворечивости) известных аксиоматических теорий первого порядка в виде леммы 1 найден (получен) на колмогоровском пути теоретикомножественной общности в основаниях математики, когда выбор всех аксиом и правил вывода каждой теории К осуществлен классически по Э. Мендельсону.

Как работает этот критерий, фактически показано в [6], например, на стр. 13 на различных, но эквивалентных исчислениях арифметики.

II. Ещё раз о теоремах Гёделя

В 1931 году Курт Гёдель (1906-1978) на фрегевском пути опубликовал теоремы о неполноте многих известных теорий. Эти теоремы полностью обоснованы (доказаны). Никаких сомнений, казалось, нет. Более того, у многих сомневающихся находились конкретные ошибки.

Я был потрясен, когда узнал, что А.Н. Колмогоров относит себя к сомневающимся в теоремах Гёделя о неполноте. Нет, он не оспаривал результаты Гёделя, относящиеся к конкретным исследуемым теориям, но он не верил в распространение этих теорем без доказательства на все известные теории при любых их построениях. Он так и говорил мне: «А где доказательство?»

Действительно, нет доказательства, что теоремы Гёделя распространяются всеобъемлющим образом на все основания наук. А без доказательства Колмогоров не мог признать истинным обобщение этих теорем на все теории (при любых их построениях).

Надо сказать, что и сам Гёдель выражал некоторое сомнение в величии и универсальности своих результатов о неполноте, особенно следствий из них; см., например, [5].

Биограф Гёделя Г. Крайзель пишет, что «вопреки усилиям... представить результаты Гёделя как сенсацию, эти результаты не оказали революционизирующего влияния ни на представление большинства работающих математиков о своей науке, ни тем более на их практическую деятельность. Во всяком случае, их влияние намного меньше, чем влияние внутреннего развития самой математики.» [5, вып. 2 (260), с. 175]; подчеркнуто мною - А.С.К.

А как мы преподаем основания не только математики, но и всех наук, особенно теоретических? Принято почти в самом начале соответствующих курсов или семинаров ссылаться на теоремы Гёделя о неполноте (часто даже не формулируя их) как на ограничительные -запрещающие многое сделать в рассматриваемой области знания (как будто эти запреты в них доказаны или доказуемо следуют из них).

Взгляды Колмогорова на теоремы Гёделя о неполноте перевернули всю мою жизнь, особенно учитывая догматическую веру в эти теоремы моих ближайших родственников, коллег, учеников и подавляющего большинства математиков и философов.