Искусственный спутник Земли

Автор старался сделать изложение понятным для каждого школьника старших классов. В то же время он стремился, где это возможно, простыми расчетами подтвердить теоретические рассуждения. Пугаться формул и расчетов не следует — математика позволяет выразить мысль предельно ясно и лаконично. Кроме того, будущим астронавтам надо учесть, что в астронавтике физика, математика и астрономия играют решающую роль. Кто еще на школьной скамье полюбил точные науки, тот может смело рассчитывать на овладение астронавтикой. К рассмотрению одной из интереснейших ее проблем мы теперь и приступим.

Задача Ньютона и ее решение

В главном творении Исаака Ньютона, его книге «Математические принципы натуральной философии», опубликованной в 1687 году, есть такое рассуждение:

«Если свинцовое ядро, брошенное горизонтально силою пороха из пушки, поставленной на вершине горы, отлетает по кривой — прежде чем упасть на Землю — на две мили, то (предполагая, что сопротивления воздуха нет), если бросить его с двойной скоростью, оно отлетит приблизительно вдвое дальше; если с десятикратной, то в десять раз. Увеличивая скорость, можно, по желанию, увеличить и дальность полета и уменьшить кривизну линии, по которой ядро двигается, так что можно бы заставить его упасть в расстоянии 10°, 30° и 90°, можно заставить его окружить всю Землю и даже уйти в небесные пространства и продолжать удаляться до бесконечности».

Рис. 1. Задача о ньютоновой горе.

Вдумаемся в смысл сформулированной здесь задачи. Первая часть рассуждения Ньютона не вызывает сомнений. Кому неизвестно, что чем сильнее бросишь камень или иной предмет, тем он дальше полетит. Понятно и то, что с увеличением скорости вылета снаряда, кривизна пути его полета уменьшается — снаряд летит на большее расстояние, поэтому его траектория становится более пологой.

Правда, никому еще из артиллеристов не удалось стрельнуть так далеко, чтобы снаряд пролетел четверть меридиана (90°), т. е. 10 000 км. Однако можно поверить и в это — все зависит от той скорости, с которой снаряд покидает ствол орудия. Если увеличить скорость вылета, увеличится и дальность полета снаряда.

Но вот чтобы снаряд можно было заставить облететь вокруг земного шара, т. е., по выражению Ньютона, «окружить всю Землю» или, тем более, отправить его навсегда за пределы Земли в мировое пространство, — это кажется невероятным.

Давайте, однако, не спешить с выводами, а попробуем обосновать рассуждения Ньютона численными расчетами.

Известно, что брошенное тело падает на Землю вследствие ее притяжения. Вес тел есть та сила, которая удерживает все земные предметы на поверхности нашей планеты и мешает им отправиться в межпланетное путешествие. Можно, однако, бросить тело так, что оно, сохранив свой вес, тем не менее никогда не упадет на Землю, а будет обращаться вокруг нее, как крошечная Луна.

Для этого необходимо, чтобы центростремительная сила, возникающая при обращении тела вокруг Земли, равнялась его весу, или, точнее говоря, чтобы вес тела стал в таком движении центростремительной силой.

Пусть Масса тела равна m, ускорение силы тяжести g, радиус земного шара R, а скорость, которой должен обладать рассматриваемый нами искусственный спутник Земли, обозначим буквой υ.

Можно считать, что высота горы, на которой установлена воображаемая ньютонова пушка, весьма мала в сравнении с радиусом Земли и потому радиус орбиты спутника положим приближенно равным земному радиусу. Центростремительная сила, действующая на спутник, равна по известной формуле . Для того чтобы вес тела, равный произведению mg, не мешал круговому движению спутника, а, наоборот, сам был движущей центростремительной силой, необходимо, чтобы . Сокращая на m, получаем для искомой скорости выражение .

Остается подставить в выведенную формулу численные значения g=9,8 и R= 637∙10⁴ м. В результате получаем, что υ≈7900 =7,9 .

Таким образом, для того чтобы тело превратилось в искусственный спутник Земли и «окружило всю Землю», необходимо сообщить телу горизонтальную скорость почти в 8 .

В этом случае спутник будет как бы непрерывно «падать» на Землю, двигаясь вокруг нее по окружности, причем, повторяем, единственной силой, действующей на спутник, будет сила его веса.

Нетрудно подсчитать, за какое время подобный спутник облетит всю Землю. Длина окружности земного экватора равна 40076 км, а скорость спутника 8 . Отсюда следует, что период обращения такого спутника вокруг Земли равен 1 часу 24 минутам.

Ньютон, разумеется, не подозревал, что сформулированная им задача может иметь какое-нибудь практическое значение. Для него это был лишь один из теоретических примеров движения тел под действием тяготения.

Современная наука иначе расценивает задачу Ньютона. В ней она усматривает реальную возможность создания искусственных спутников Земли.