Искусственный спутник Земли

Однако задача двух тел более общая, чем «задача Ньютона». В последней начальная скорость второго тела имеет всегда одно и то же (горизонтальное) направление. В «задаче двух тел» как величина, так и направление начальной скорости, а также расстояние между телами могут быть любыми.

Искусственные спутники Земли, как мы увидим в дальнейшем, будут созданы на разных высотах. Различны будут их массы и начальные скорости. Вот почему для расчета орбит искусственных спутников Земли придется воспользоваться не только решением «задачи Ньютона», но и формулами задачи двух тел.

Если бы можно было пренебречь притяжением небесных тел и считать, что на спутник действует только сила земного тяготения, орбита спутника могла бы быть только окружностью или эллипсом. В действительности движение спутника во многих случаях будет гораздо более сложным.

Наш естественный спутник — Луна — обладает настолько большой массой и так близок к Земле, что пренебречь его воздействием на искусственные спутники невозможно. Только те из них, которые будут обращаться вокруг Земли на сравнительно небольшой высоте (сотни километров), не испытают на себе заметного влияния Луны.

Для более же отдаленных спутников притяжение Луны способно сильно усложнить их орбиты.

В таком случае возникает задача не двух, а трех тел: Земли, Луны и спутника. Пусть искусственный спутник расположен где-то между Землей и Луной. Будем считать, что в некоторый начальный момент времени взаимные расстояния трех тел, их массы и начальные скорости известны. Задача состоит в том, чтобы определить, как будут двигаться все три притягивающих друг друга тела, в частности интересующий нас искусственный спутник Земли.

Задача трех тел исключительно сложна и в общем случае, т. е. когда массы тел могут быть любыми, она по существу не получила и доныне своего решения. Правда, в начале текущего века финляндский математик Зундман вывел формулы, выражающие положение всех трех тел через начальные условия. Однако формулы Зундмана настолько громоздки, что никаких практических расчетов по ним производить нельзя.

Только в некоторых частных случаях «задача трех тел» допускает сравнительно простые решения. Одно из них было найдено знаменитым французским математиком Лагранжем в конце XVIII века. «Случай Лагранжа» заключается в следующем.

Допустим, что три тела в некоторый момент времени образуют вершины равностороннего треугольника. Тогда, как доказал Лагранж, и в дальнейшем их взаимное расположение не изменится, как бы сложно не перемещался в своей плоскости возникший равносторонний треугольник.

Любопытно отметить, что «случай Лагранжа» наблюдается в природе. Оказывается, у крупнейшей планеты солнечной системы — Юпитера есть своеобразные «конвоиры» (рис. 4). Это — карликовые планеты (астероиды), обращающиеся вокруг Солнца по орбите Юпитера. Десять из них предшествуют Юпитеру, а пять идут сзади, причем в каждый момент времени Солнце, Юпитер и «троянцы»[3] находятся в вершинах двух равносторонних треугольников.

^{Рис. 4. Астероиды «троянцы» и Юпитер.}

Точки, вблизи которых находятся «троянцы», в небесной механике, называются «треугольными точками либрации». Помещенное в них тело окажется в состоянии устойчивого равновесия. Что же касается «троянцев», то не совпадая в точности с точками либрации, они описывают вокруг этих точек небольшие, но очень сложные орбиты.

«Случай Лагранжа» должен быть учтен при создании искусственных спутников Земли. Ведь в системе Земля–Луна также есть треугольные точки либрации, и спутники, помещенные в них, постоянно находились бы от Земли и Луны на одинаковых расстояниях.

По исследованиям Лагранжа, кроме треугольных точек либрации, в задаче трех тел есть еще три «прямолинейные» точки либрации. Они расположены на прямой, проходящей в нашем случае через центры Земли и Луны (рис. 5). Для астронавтических целей эти точки, однако, менее интересны, чем предыдущие, так как тело, помещенное в них, оказалось бы в неустойчивом равновесии.

^{Рис. 5. Либрационные точки в системе Земля–Луна.}

Массы искусственных спутников Земли будут, несомненно, ничтожно малы по сравнению с массами Земли и Луны. Именно поэтому, к вычислению орбит спутников вполне применимы выводы так называемой ограниченной задачи трех тел. Как раз в этом частном случае задачи трех тел считается, что масса третьего тела бесконечно мала в сравнении с массами двух других тел.

Ограниченная задача трех тел исследовалась такими крупнейшими математиками XIX века, как Якоби, Джорж Дарвин и Пуанкаре. Ими были вычислены всевозможные замкнутые «периодические» орбиты, по которым при тех или иных начальных условиях будет двигаться третье тело. Результаты оказались весьма интересными.

На рисунке 6 показаны примеры некоторых «периодических» орбит. Это уже не такие простые кривые, как окружность или эллипс. Многие орбиты имеют весьма сложную и необычную форму, как, например, кривая II.