Искусство философствования

Я до сих пор ничего не говорил об алгебре, которая зародилась во времена поздних александрийских греков, но в целом была разработана сначала арабами, а потом учеными в XVI и XVII вв. Алгебра кажется более сложной, чем геометрия, потому что геометрия имеет дело с конкретными видимыми фигурами, в то время как x и y в алгебре – совершенно абстрактные сущности. Но алгебра всего лишь обобщенная арифметика: когда существует некоторое суждение, истинное в отношении любого числа, то пустой тратой времени будет доказательство истинности этого суждения относительно каждого конкретного числа, поэтому мы говорим «пусть х будет любым числом» и продолжаем наше рассуждение. Предположим, например, вы заметили, что 1 + 3 = 4, что есть 22; 1 + 3 + 5 = 9, что есть У; 1 + 3 + 5 + 7 = 16, что есть 42. Удивившись, вы захотите предположить, не является ли это общим правилом. В этом случае вам нужна алгебра, чтобы выразить все эти конкретные примеры в одном простом вопросе, который вы зададите самому себе: «Всегда ли сумма первых п нечетных чисел равна n2?» Когда вы сможете понять этот вопрос, то легко найдете доказательство тому, что ответом будет да. Если вы не используете букву n, то вынуждены будете использовать очень сложный язык. Вы можете сказать: «Если сложить любое количество нечетных чисел, начиная с 1 и не считая 0, то сумма будет равна квадрату числа сложенных нечетных чисел». Это суждение гораздо труднее понять. Когда же вы сформулируете более сложные вопросы, то вскоре станет практически невозможно понимать их, не используя буквы вместо фразы «любое число».

Даже проблемы, сформулированные относительно конкретных чисел, часто гораздо легче решать, используя вместо числа букву х. В юности я долго ломал голову над следующей загадкой: «Если рыба весит 5 фунтов и половину своего собственного веса, то сколько она весит?». Многие склонны ответить 7,5 фунтов. Если вы начнете рассуждение с «пусть x – вес рыбы» и продолжите «5 фунтов плюс половина x равно х», то очевидно, что 6 фунтов – это половина х, следовательно х равно 10 фунтам. Но эта проблема слишком проста, чтобы решать ее с помощью "х". Возьмем немногим более сложную задачу. Полиция преследует преступника по определенному шоссе, который выехал 10 минут назад; полицейская машина может ехать со скоростью 70 миль в час, а машина преступника только со скоростью 60 миль в час. Сколько времени потребуется полиции чтобы поймать преступника? Ответ, конечно, 1 час. Это «ясно» любому человеку; но если я скажу, что преступник выехал 7 минут назад, его машина может ехать со скоростью 53 мили в час, а полицейская машина со скоростью 67 миль в час, то вы сочтете более удобным начать свое рассуждение таким образом: пусть t – время, необходимое для того, чтобы поймать преступника. Для мальчика или девочки, начинающих изучать алгебру, трудно привыкнуть к алгебраическому использованию букв. Лучше сначала показать ученикам огромное количество конкретных примеров общих формул. Например:

11х11=10х10+10 х2+1;

12 х 12=11 х 11+11 х 2+1;

13 х 13 = 12 х 12 + 12 х 2 + 1 и т. д.;

и в конце концов становится легко понять, что

п плюс 1 х n плюс 1 – это n x n плюс n х 2 плюс 1.

На ранних этапах преподавания алгебры этот процесс нужно повторять с каждой новой формулой.

Одна из необычных черт математики состоит в том, что несмотря на свою огромную практическую полезность, во многих деталях она предстает скорее легкомысленной игрой. Никто не сможет преуспеть в математике, если он не умеет наслаждаться игрой ради самой игры. Любая профессиональная работа выполняется хорошо только теми людьми, кто испытывает удовольствие от этой работы, не говоря о том, что эта деятельность помогает им зарабатывать на жизнь, а ее результат имеет ценность для всего мира. Никто не сможет стать хорошим математиком только для того, чтобы зарабатывать на жизнь, или только для того, чтобы стать полезным гражданином; он должен также получать своего рода удовлетворение от математики, как другие люди получают от решения шахматной задачи или задачи построения мостов. Приведу несколько примеров. Если они вас позабавят, то было бы лучше для вас посвятить некоторое время занятиям математикой; если нет, то – нет.

Помню, что в детстве я с огромным удовольствием открыл для себя формулу суммы того, что называется «арифметической прогрессией». Арифметическая прогрессия – это ряды чисел, в которых каждый член, кроме первого, больше (или меньше), чем предыдущее на определенную величину. Эта определенная величина называется «разность". Ряд 1,3,5,7,… представляет собой арифметическую прогрессию, в которой разность равна 2. Ряд 2, 5, 8,11,… – арифметическая прогрессия, в которой разность равна 3. Теперь предположим что у вас есть арифметическая прогрессия, состоящая из конечного количества членов, и вы хотите знать сумму всех членов этой прогрессии. Как это сделать?