Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Наш путь по современному миру все в большей степени определяется сетями. Системы автомобильных шоссе, железных дорог и маршрутов авиаперелетов позволяют нам перемещаться из одного конца планеты в другой. Находить наиболее рациональные маршруты в этой запутанной паутине помогают разнообразные программные приложения. Компании, подобные Facebook и Twitter, расширяют сферу нашего социального общения далеко за пределы деревни, в которой мы живем. Главная сеть, по которой все человечество ежедневно путешествует целыми часами, стала настоящим альтернативным миром – я говорю об интернете. Поисковая система Google добилась успеха при помощи создающего шорткаты алгоритма PageRank, помогающего пользователям ориентироваться в этой паутине, содержащей более 2 миллиардов сайтов. Хотя мы считаем интернет явлением сравнительно новым, на самом деле первые догадки о возможности сетей такого рода появились еще в XIX веке, и автором их был мой любимый мастер шорткатов.

Карл Фридрих Гаусс увлекался физикой не меньше, чем математикой. Он сотрудничал во многих проектах с одним из ведущих геттингенских физиков Вильгельмом Вебером. Гаусс даже изобрел шорткат, избавлявший от необходимости ходить между геттингенской обсерваторией и лабораторией Вебера. Он протянул между ними телеграфную линию, позволявшую переговариваться, не встречаясь лично. Эта линия длиной около трех километров проходила над городскими крышами. Гаусс и Вебер понимали, какие возможности в области связи на расстоянии открывает электромагнетизм. Они разработали код, в котором каждая буква обозначалась последовательностью положительных и отрицательных электрических импульсов. Было это в 1833 году, за несколько лет до того, как аналогичная идея пришла в голову Сэмюэлу Морзе.

Гаусс считал это изобретение своего рода любопытной безделушкой, но Вебер понимал важность таких технологий: «Когда весь земной шар будет покрыт сетью железных дорог и телеграфных проводов, эта сеть будет выполнять функции, подобные функциям нервной системы в человеческом теле, отчасти в качестве транспортного средства, а отчасти – в качестве средства молниеносного распространения идей и ощущений». Учитывая стремительное распространение телеграфа, Гаусса и Вебера можно считать прародителями интернета. Их сотрудничество увековечено в памятнике им обоим, стоящем в Геттингене.

Как и предсказывал Вебер, сегодня эта сеть охватывает гораздо большие пространства, нежели несколько километров проволоки, которые двое ученых протянули по крышам Геттингена. Более того, она стала настолько сложной, что поиск шорткатов в сетях стал одной из основных задач современной математики. Эти сети могут состоять не только из проводов, но и из мостов, как я выяснил во время недавней поездки в Россию.

Читайте Эйлера. Читайте Эйлера. Он всем нам учитель

Несколько лет назад, когда я летел в Калининград, я постарался сделать так, чтобы на короткий перелет из Санкт-Петербурга у меня было место у окна. Я совершал паломничество в город, ставший местом действия одного из рассказов, на которых воспитываются все математики, – рассказа об одном из самых изобретательных шорткатов во всей истории математики.

Подлетая к Калининграду, маленькому эксклаву Российской Федерации, отделенному от ее основной территории Литвой и Польшей, я видел реку Преголю, протекающую через город. У реки есть два рукава, сходящиеся в Калининграде; от этого места она течет дальше на запад, к месту впадения в Балтийское море. В центре города расположен остров, обтекаемый рукавами реки. В самом сердце математической истории, прославившей Калининград, как раз и находятся мосты, соединяющие берега реки друг с другом и с этим островом.

История эта относится к XVIII веку, когда у города было другое название – Кёнигсберг. Он был родиной Иммануила Канта и знаменитого математика Давида Гильберта. В то время он входил в состав Пруссии, и через Преголю были перекинуты семь мостов[117]. Одним из любимых занятий обитателей города стало следующее развлечение: по воскресеньям после обеда они пытались найти такой маршрут, который проходил бы по всем мостам, но только по одному разу. Но как бы они ни старались, всегда находился один мост, до которого они добраться не могли. В самом ли деле это было невозможно, или все же был какой-нибудь способ, позволявший перейти через все семь мостов, до которого горожане просто не додумались?

Жителям Кёнигсберга казалось, что нет никакого способа избежать утомительной ходьбы по городу, пробуя поочередно все маршруты, проходящие по мостам, пока не будут исчерпаны все возможные варианты. При этом всегда оставалось подспудное ощущение, что, возможно, какой-нибудь хитроумный путь, дающий решение этой задачи, так и остался незамеченным.

Рис. 9.2. Семь мостов через реку Прегель в Кёнигсберге XVIII века