Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Таково математическое определение длинного пути: алгоритм решения задачи, время работы которого, необходимое для вычисления ответа, экспоненциально возрастает с увеличением размера задачи. Именно для таких задач хотелось бы найти шорткаты. Но что считать качественным шорткатом? Так можно назвать алгоритм, по-прежнему вычисляющий решение сравнительно быстро даже при увеличении размера задачи: так называемый алгоритм полиномиального времени.

Предположим, у меня есть случайный набор слов, которые я хочу расположить в алфавитном порядке. Сколько времени будет занимать эта работа по мере все большего удлинения списка слов? Простой алгоритм для решения этой задачи мог бы в начале просмотреть весь исходный список из N слов и выбрать из него слово, стоящее в словаре раньше всех остальных. Затем нужно повторить ту же операцию для оставшихся N – 1 слов. Таким образом, чтобы расставить по порядку все N слов, нужно будет перебрать N + (N – 1) + (N – 2) + … + 1 слово. Но благодаря шорткату Гаусса мы знаем, что для этого потребуется в общей сложности N × (N + 1)/2 = (N² + N)/2 просмотров.

Это пример алгоритма полиномиального времени, потому что по мере увеличения числа слов N число просмотров растет пропорционально квадрату N. В случае задачи коммивояжера нужно найти алгоритм, который сможет находить кратчайший маршрут для N городов, перебрав всего, скажем, N² вариантов, то есть число маршрутов, пропорциональное квадрату числа городов.

К сожалению, первые алгоритмы, приходящие в голову, не относятся к полиномиальным. По сути дела, сначала мы выбираем первый город, в который нужно заехать, затем следующий… Если на карте всего N городов, это требует перебора N! маршрутов. Как я уже говорил, эта функция растет еще быстрее, чем экспоненциальная. Следовательно, необходимо найти стратегию, более рациональную, чем перебор всех маршрутов.

Шорткат к шорткатам

Чтобы показать, что существование такого алгоритма не всегда невозможно, рассмотрим задачу, которая на первый взгляд кажется столь же непреодолимой. Выберем две точки, обозначенные на карте в числе городов, которые должен посетить коммивояжер. Какой маршрут между этими двумя городами будет самым коротким? На первый взгляд кажется, что и здесь необходимо рассмотреть множество вариантов. В конце концов, можно начать с посещения любого города, непосредственно соединенного с начальным, а затем посетить один из городов, непосредственно соединенных уже с этим. Судя по всему, с увеличением числа городов сложность такого метода снова будет расти экспоненциально.

Но в 1956 году голландский программист Эдсгер В. Дейкстра придумал гораздо более рациональную стратегию, позволяющую находить кратчайший маршрут между двумя городами за время, аналогичное тому, что занимает перестановка слов в алфавитном порядке. Он обдумывал практическую проблему прокладки самого быстрого маршрута между двумя голландскими городами, Роттердамом и Гронингеном.

Однажды утром мы с моей молодой невестой ходили по магазинам в Амстердаме, устали и сели на террасе кафе выпить по чашке кофе. Я размышлял, смогу ли я решить эту задачу, и вдруг разработал алгоритм кратчайшего пути. Его изобретение заняло минут двадцать… Одна из причин, по которым он получился таким изящным, в том, что я разработал его без карандаша и бумаги. Позднее я понял, что одно из преимуществ работы без карандаша и бумаги состоит в том, что это почти что вынуждает избегать всех осложнений, которых можно избежать. В конце концов, к моему огромному удивлению, этот алгоритм стал одним из краеугольных камней моей известности.

Рассмотрим следующую карту:

Рис. 10.3. Каков кратчайший маршрут между городами 1 и 5?

Алгоритм Дейкстры предполагает, что я начинаю путешествие из начального города, города 1. На каждом этапе я буду вычислять для каждого города промежуточную сумму расстояний, что должно помочь мне найти кратчайший маршрут. Первым делом я помечу все города, связанные с начальным, расстояниями до них. В данном случае города 2, 3 и 6 получают соответственно метки 7, 9 и 14, и первым ходом я перемещаюсь в ближайший из этих городов. Однако следует помнить, что, когда алгоритм чудесным образом решит задачу, может оказаться, что самым лучшим первым ходом был переезд совсем в другой город.

Итак, вначале я переезжаю в город 2, потому что он расположен на самом малом расстоянии от начального пункта, города 1.