Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Это была хорошо продуманная система. Чтобы обозначить миллион, египетский писец мог не наносить на кость миллион зарубок, а просто нарисовать на папирусе фигурку коленопреклоненного человека. Такое умение легко записывать большие числа было одним из факторов, позволивших Египту превратиться в могущественную цивилизацию, способную успешно собирать налоги со своего населения и строить крупные города.

Но и в египетской системе было нечто весьма нерациональное. Если писец хотел записать число 9 999 999, он должен был использовать 63 символа. А если к этой сумме добавлялась еще одна единица, нужно было изобретать новый символ, обозначающий 10 000 000. Заметим теперь, что в нашей современной системе счисления для записи такого большого числа, как 9 999 999, мы используем всего семь символов, а при помощи всего десяти разных символов (0, 1, 2, … 9) можно записать сколь угодно большое число. Все дело в позиционной системе счисления, поразительном шорткате, независимо найденном на разных этапах истории человечества тремя разными культурами.

Первой этот шорткат нашла цивилизация, соперничавшая с египетской, – вавилоняне. Интересно отметить, что в основе системы счисления их культуры лежали не степени десяти, как у египтян или в нашей нынешней системе. Они работали со степенями шестидесяти. У них были свои обозначения для всех чисел до 59, и только после этого, как они считали, требовалась перегруппировка. Числа от 1 до 59 они записывали с помощью всего двух символов: символа , обозначавшего 1, и символа , обозначавшего 10. Но это означало, что для записи числа 59 требовался набор из целых четырнадцати символов.

На первый взгляд такая система кажется далеко не рациональной. Но в выборе числа 60 скрывается шорткат совсем другого рода. Все дело в делимости этого числа. Число 60 можно представить в виде произведения стольких разных делителей – как 2 × 30, как 3 × 20, как 4 × 15, как 5 × 12 или как 6 × 10, – что у торговцев, которые брали на вооружение эту систему, было множество возможностей по-разному делить свои товары. Именно из-за высокой делимости числа 60 мы до сих пор используем его для отсчета времени. Час из шестидесяти минут и минута из шестидесяти секунд происходят из древнего Вавилона.

Однако по-настоящему революционным изобретением вавилонян была система представления чисел, больших 59. Можно было поступить как египтяне – то есть начать создавать новые символы. Но у вавилонян появилась другая идея: что значение символа может изменяться в зависимости от его положения относительно других символов. В нашей нынешней системе в числе 111 повторяется три раза один и тот же символ, и прелесть этого обозначения состоит в том, что, если читать это число справа налево, первый символ 1 обозначает единицу, второй – десяток, а третий – сотню. Каждый раз, когда мы добавляем слева еще один символ, его значение увеличивается в десять раз.

Однако система счисления вавилонян была не десятичной, а шестидесятеричной. Поэтому при каждом смещении на шаг влево значение увеличивалось на число, кратное 60. Например, число 111 в вавилонской системе было бы равно 1 × 60² + 1 × 60 + 1 = 3661. Этот шорткат был исключительно полезным. При помощи всего двух символов,  и , можно было выразить сколь угодно большое число. Но не любое число. Для этого нужен был еще один символ. Что делать, если нужно было записать число 3601? Требовалось показать, что в разряде шестидесяти ничего нет. Нужен был символ для пустого места. В вавилонской клинописи отсутствие какой-либо степени 60 обозначалось двумя маленькими насечками: .

Этот шорткат к записи больших чисел открыли и майя. У них уже был символ для обозначения числа 5. Линия. Три линии могли обозначать 15. Три линии и четыре точки – 19. Но затем майя решили, что записи становятся слишком громоздкими. Поэтому символы, стоящие у них в следующих позициях, стали обозначать степени двадцати. Так, число 111 в системе счисления майя обозначает 1 × 20² + 1 × 20 + 1 = 421. Вскоре и они поняли, что в некоторых местах требуется символ, обозначающий пустое место, и выбрали для этого изображение ракушки.

Майя были великими астрономами и регистрировали огромные промежутки времени. Рациональная система счисления, основанная на положении символов, позволила им оперировать астрономически большими числами, не создавая огромных списков символов.

Однако в обеих системах, и у вавилонян, и у майя, не хватало одного элемента – символа, обозначающего ничто. Этот революционный шаг сделала третья культура, изобретшая позиционную систему счисления, – индийцы.

Цифры, которые служат нам сегодня, мы часто называем арабскими, но это название ошибочно. Во всяком случае, оно не рассказывает всей их истории. Арабы, привезшие эту систему в Европу, научились ей у индийских писцов. На самом деле цифры следовало бы называть индо-арабскими. Индийская система счисления использует символы от 1 до 9, причем при каждом шаге влево значение цифры увеличивается в 10 раз. В этой системе есть и символ, обозначающий ничто. Ноль.